PROPUESTA DE DISEÑO DE UNA PRÁCTICA: Una pequeña incursión en el ámbito de las funciones de dos variables: optimización usando argumentos gráficos Jesús Ríos Paco Monserrat

Nivel de los alumnos a los que va dirigida: 2 0 BACHILLERATO Conocimientos previos:  Concepto de función y gráfica de una función (1 variable)  Familiaridad con problemas de optimización de funciones de una variable  Familiaridad con “lugares geométricos” definidos por ecuaciones implícitas (recta, plano, circunferencia, etc.)

Objetivos que se pretenden:  Mostrar cómo la Matemática ya conocida por el alumno puede aplicarse a aspectos inmediatamente identificables como “útiles” y “próximos”  Reforzar los conceptos de “función”, “gráfica” y “lugar geométrico”  Desarrollar la visión espacial  Introducir al alumno en problemas de optimización de funciones de dos variables, sin necesidad de más herramientas que una “pequeña” extensión de ciertos conocimientos previos

PROBLEMA Cálculo de las dimensiones de un envase en forma de “brick”, de 1 litro de volumen, realizado con la mínima cantidad de cartón posible.

Primer enunciado del problema, expresado en términos matemáticos: problema de optimización Cálculo de las dimensiones de un ortoedro de 1 litro de volumen y con superficie mínima.

Función superficie: a(x,y,z)=2(xy+xz+yz) Condición: volumen=1 z=1/(xy) Función objetivo: f(x,y)=a(x,y,1/(xy))

La solución parece ser: x=1 dm y=1 dm z=1 dm Con lo cual la superficie mínima será 6 dm 2 Otra manera de constatar gráficamente el resultado es mediante la utilización de curvas de nivel:

Las curvas de nivel correspondientes a la gráfica de una función f(x,y) se obtienen representando en el plano XY las curvas dadas por funciones implícitas de la forma: f(x,y)=k Siendo k un valor del recorrido de la función f.

SOLUCIÓN AL PROBLEMA: CUBO 1 dm

PROBLEMAS RELACIONADOS 1.Resolver el mismo problema con diferentes volúmenes e intuir cual será la solución para un volumen arbitrario v. 2.Determinar las dimensiones de un ortoedro de 6 dm 2 de superficie y con volumen máximo. Fijar distintos valores para la superficie y enunciar un resultado general.

Segundo enunciado del problema, en términos más “realistas”: Teniendo en cuenta la forma en la que realmente se construye un envase en forma de “brick”: mediante plegado de un rectángulo.

x2y 2x+0.08 z x2y Anchura pestañas: 0.08 dm Condición: volumen=1dm 3 (2x+0.08) ·2y · z=1 y y z=1/(4 xy+0.16 y) Función superficie:a(x,y,z)=(2y+z+2·0.08)·(4x+4y+3·0.08) Función objetivo:f(x,y)=a(x,y, 1/(4 xy+0.16 y) )

2x+0.08 z 2y

Solución aproximada: x=0.55 dmy=0.3 dmf(0.55, 0.3)= dm 2 z= dm 1.18 dm dm 0.6 dm

Rectángulo áureo Razón áurea=(1+5 1/2 )/2=

Tercer enunciado del problema: Cálculo de las dimensiones de un “brick” de 1 litro de volumen de manera que una de sus caras es un rectángulo áureo y la superficie del rectángulo obtenido al “desplegarlo” sea mínima. Propuesta: Resolverlo utilizando como herramienta el programa Derive. ¿Se aproximan los “bricks” más estándar a la solución obtenida?

Solución aproximada: x= dmy= dmg(0.498)= dm 2 z= dm dm dm dm