TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS

TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS -. CIRCUNFERENCIAS -. OVALOS Y OVOIDE -. ELIPSE -. HIPERBOLA -. PARABOLA

CIRCUNFERENCIAS Expresion Grafica TANGENCIAS TEMA2 2º Ingeniería Química TEMA2 CIRCUNFERENCIAS Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro TANGENCIAS La tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio) T Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros T

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA A B T

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO C T B A

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA t1 T1 O P O1 T2 t2

Expresion Grafica TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS t2 T22 O2 R T12 O1 R-r r t2 T21 T11

Expresion Grafica TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS t1 A O2 T21 R R+r T12 O1 r T22 t2 T11 B

Expresion Grafica P R R O1 O2 R T1 T2 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO P R R O1 O2 R r T1 T2 A

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, QUE CRUZAN DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS T1 OT1 O1 1 s 2 3 r P T2 OT2 O2

Expresion Grafica Tt O Ts Tr 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS CUANDO AL MENOS DOS SE CRUZAN FUERA DEL DIBUJO Tt t O s Ts Tr r

Expresion Grafica 1 3 r O1 R N O3 O4 M r R O2 2 4 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS ARCO DE CIRCUNFERENCIA TANGENTE EXTERIORMENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS 1 3 O1 r R O1 M N O3 O2 O2N O4 M r R 2 4

Expresion Grafica POLIGONOS TEMA3 POLIGONO IRREGULAR 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS POLIGONOS POLIGONO IRREGULAR Lados y ángulos diferentes POLIGONO REGULAR Lados y ángulos iguales POLIGONO INSCRITO Tiene los vértices sobre la circunferencia POLIGONO CIRCUNSCRITO Tiene los lados tangentes a la circunferencia

DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA O R=l A O l5 l10 L En seis partes En tres partes En cinco y diez partes

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS DIVISON DE LA CIRCUNFERENCIA EN UN NUMERO CUALQUIERA DE PARTES IGUALES( método general) EJEMPLO : 11 PARTES D F O DC 1 CD 2 3 4 5 B E A 6 7 8 9 10 11 C

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS CONSTRUCCION DE UN POLIGONO REGULAR INSCRITO CON UN NUMERO CUALQUIERA DE LADOS CONOCIENDO EL LADO DEL MISMO. EJEMPLO : 11 PARTES A Lado A B B L OB R LM 1 Q 2 ML 3 4 5 O P 6 7 8 9 10 11 M

RECTIFICACION DE CURVAS Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS RECTIFICACION DE CURVAS Rectificar una curva es transformar el segmento curvilíneo en uno rectilíneo de igual longitud, con el fin de obtener dicha longitud de manera mas cómoda. Para rectificar una curva cualquiera se divide ésta en cuerdas lo más pequeñas posible y se van llevando sucesivamente una a continuación de la otra. A B A B

Expresion Grafica RECTIFICACION DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS RECTIFICACION DE CURVAS RECTIFICACION DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA A AO D F BD E O CE OB C B

Expresion Grafica RECTIFICACION DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS RECTIFICACION DE CURVAS RECTIFICACION DE UNA SEMICIRCUNFERENCIA A O B C r r r RECTIFICACION DE UNA CIRCUNFERENCIA 1 2 3 4 5 6 7 O D/7 D D D

Expresion Grafica RECTIFICACION DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA < 90º 2º Ingeniería Química TEMA3 CIRCUNFERENCIAS RECTIFICACION DE CURVAS RECTIFICACION DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA < 90º C B F O A E

Expresion Grafica OVALOS Y OVOIDES 2º Ingeniería Química TEMA3 OVALOS Y OVOIDES OVALO : Curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia, iguales dos a dos, y que tiene dos ejes de simetría, llamados mayor y menor respectivamente OVOIDE : Curva cerrada, plana y convexa formada por cuatro arcos de circunferencia, donde uno es una semicircunferencia y de los otros dos son simétricos, tiene un diámetro y un eje de simetría.

CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MAYOR CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MENOR Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 OVALO Y OVOIDE OVALOS CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MAYOR CONSTRUCCION CONOCIDO EL EJE MENOR C 3 E D 4 O1O2 O12 D B O1 O2 A B A O1 O2 O11 O1O2 1 F 2 D

Expresion Grafica OVALOS TEMA3 OVALO Y OVOIDE 2º Ingeniería Química TEMA3 OVALO Y OVOIDE OVALOS CONSTRUCCION DE UN OVALO INSCRITO EN UN ROMBO DADO C O3 C4 1 C2 2 O11 O2 A B O1 O23 4 3 D O4

Expresion Grafica OVOIDE TEMA3 OVALO Y OVOIDE 2º Ingeniería Química TEMA3 OVALO Y OVOIDE OVOIDE CONSTRUCCION DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU EJE CONSTRUCCION DE UN OVOIDE CONOCIENDO SU DIAMETRO O2 C O3 C E F CD O2 A 1 2 3 4 5 6 B O2E O1 O1 O4 AO1 O4B O1B DC O3F G F D O4 D O3

Expresion Grafica CURVAS CONICAS β = 90º α < β α = β α > β 2º Ingeniería Química TEMA3 CURVAS CONICAS Curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica β = 90º α < β α = β α > β

Expresion Grafica ELIPSE 2º Ingeniería Química TEMA3 CURVAS CONICAS ELIPSE - Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real (2a), y menor o virtual (2b). A C B D F F' a c b r' N M r - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor. - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos.(r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2a

Expresion Grafica ELIPSE 2º Ingeniería Química TEMA3 CURVAS CONICAS ELIPSE - Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor. - Distancia focal es la que hay entre los focos (2c) - Se cumple que a2= b2+ c2 - Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e <1

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 ELIPSE CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES C C 1 M a 2 3 GA GB F G F’ 4 A B 4 3 2 1 A B O N D D

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 ELIPSE CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD E C H G A B O D

Expresion Grafica TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR 2º Ingeniería Química TEMA3 ELIPSE TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR G t 2a P P PF I F F’ F F’ H J

Expresion Grafica HIPERBOLA 2º Ingeniería Química TEMA3 CURVAS CONICAS HIPERBOLA - Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes, F F’ V1 V2 A B r r’ O 2a 2c - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V1V2 ( 2a ) - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos.(r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2a

Expresion Grafica HIPERBOLA 2º Ingeniería Química TEMA3 CURVAS CONICAS HIPERBOLA - Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2a. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2a. - Distancia focal es la que hay entre los focos (2c), los focos están sobre el eje principal o real - Se cumple que c2= b2+ a2 - Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e >1

Expresion Grafica HIPERBOLA 2º Ingeniería Química TEMA3 CURVAS CONICAS HIPERBOLA - Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito. - Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O - Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 HIPERBOLA CONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS r =V1A r =V1A r =V1B r =V1B r’=V2A r’=V2A r =V2B r =V2B F V1 V2 B A O F’

Expresion Grafica TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR 2º Ingeniería Química TEMA3 ELIPSE TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR I V1 V2 V1 V1 P P PF’ I F F’ F V1 V2 F’ V1 O V2 O t J L K

Expresion Grafica PARABOLA 2º Ingeniería Química TEMA3 CURVAS CONICAS PARABOLA V F d r - Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje. - Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 HIPERBOLA CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ d AO O V A F

Expresion Grafica 2º Ingeniería Química TEMA3 HIPERBOLA ENLAZAR DOS RECTAS CUALESQUIERA POR MEDIO DE UNA CUVA PARABOLICA CONOCIENDO LOS DOS PUNTOS DE TANGENCIAS M 1 2 3 4 5 6 7 Z N 7 6 5 4 3 2 1