Matemáticas Acceso a CFGS POSICIONES RELATIVAS Bloque II * Tema 072 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS POSICIÓN DE UN PUNTO P(x, y) P(x, y) P(x, y) r r r C C C PUNTO INTERIOR La distancia del centro, C(k, h), a dicho punto P, es menor que el radio r. d(P, C) < r PUNTO PERTENECIENTE La distancia del centro, C(k, h), a dicho punto P, es igual al radio r. d(P, C) = r PUNTO EXTERIOR La distancia del centro, C(k, h), a dicho punto P, es mayor que el radio r. d(P, C) > r @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios 1.- Hallar la posición relativa del punto P(1, 1) respecto a la circunferencia C: (x – 2)2 + (y – 3)2 – 52 = 0 Centro: C(2, 3) ,, Radio: r=5 d(P, C) = √ (1 – 2)2 + (1 – 3)2 =√5 < 5  Punto interior. 2.- Hallar la posición relativa del punto P(-3, 0) respecto a la circunferencia C: (x + 4)2 + (y – 5)2 – 12 = 0 Centro: C(- 4, 5) ,, Radio: r=1 d(P, C) = √ (- 3 + 4)2 + (0 – 5)2 =√26 > 1  Punto exterior. 3.- Hallar la posición relativa del punto P(a, 0) respecto a la circunferencia C: (x – a)2 + (y + a)2 – a2 = 0 Centro: C(a, -a) ,, Radio: r=a d(P, C) = √ (a – a)2 + (0 + a)2 =√ a2 = a = r  Punto perteneciente a la circunferencia.. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS POSICIÓN DE UNA RECTA s s P2 P1 s d d d C C C P1 RECTA SECANTE La distancia del centro, C(k, h), a la recta, s es menor que el radio r. d(P, s) < r RECTA TANGENTE La distancia del centro, C(k, h), a la recta, s es igual al radio r. d(P, s) = r RECTA EXTERIOR La distancia del centro, C(k, h), a la recta, s, es mayor que el radio r. d(P, s) > r @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Analítica posicional Distancia de un punto a una recta Sea el punto C(k, h), el centro de la circunferencia. Sea la recta s: Ax + B.y + C = 0 Distancia: |A.k + B.h+C| D(C, s) = -------------------- √(A2+B2) POSICIÓN DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA MÉTODO DE LA DISTANCIA Se halla la distancia, d, de un punto C, el centro de la circunferencia, a la recta s dada. Si d > r  Recta exterior Si d = r  Recta tangente. Si d < r  Recta secante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios 4.- Hallar la posición relativa de la recta s: 3x + 4y + 5 = 0 respecto a la circunferencia C: (x + 4)2 + (y – 3)2 – 72 = 0 Centro: C(-4, 3) ,, k= -4, h=3 ,, Radio: r=5 |A.k + B.h+C| |3.(-4)+ 4.3+5| 5 d(C, s) = -------------------- = -------------------- = --- = 1 < r  Recta secante √(A2+B2) √(32+(-4)2) 5 5.- Hallar la posición relativa de la recta s: 12x – 5y – 65 = 0 respecto a la circunferencia C: x2 + y2 – 25 = 0 Centro: C(0, 0) ,, k= 0, h=0 ,, Radio: r=5 |12.0 + (-5).0 – 65| 65 d(C, s) = ------------------------- = ------ = 5 = r  Recta tangente √(122+(-5)2) 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios 6.- Hallar la posición relativa de la recta s: 8x + 6y + 3a = 0 respecto a la circunferencia C: (x – a)2 + y2 – a2 = 0 Centro: C(a, 0) ,, k= a, h=0 ,, Radio: r=a |8.a + 6.0 + 3a| 11a d(C, s) = -------------------- = ------ = 1,1.a > a  Recta exterior a C. √(82+62) 10 7.- Hallar la posición relativa de la recta s: √2ax – √2ay + 18 = 0 respecto a la circunferencia C: (x – a)2 + (y – a)2 – a2 = 0 Centro: C(a, a) ,, k= a, h=a ,, Radio: r=a |√2a.a +(-√2a).a + 18| |√2.a2– √2.a2 +18| 18 9 d(C, s) = ------------------------------ = ------------------------- = ------- = ------ √(√2.a)2+(-√2.a)2 √4.a2 2.a a Casos: 9 < a2 ,, 9 = a2 ,, 9 > a2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Analítica posicional POSICIÓN DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA MÉTODO DEL SISTEMA Se resuelve el sistema formado por la ecuación de la recta y la ecuación de la circunferencia. Presenta la ventaja sobre el otro método de darnos los puntos de corte, si los hay. r: y = m.x + n C: (x – k)2 + (y – h)2 = r2 No existen soluciones reales  Recta EXTERIOR.. Hay una única solución real  Recta TANGENTE   Solución = Punto de tangencia. Hay dos soluciones reales y distintas  Recta SECANTE   Soluciones = Puntos de corte. El valor o medida del segmento secante será la distancia entre los dos puntos de corte. Dicho segmento puede ser el diámetro de la circunferencia. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios 8.- Hallar la posición relativa de la recta s: x + 4y – 5 = 0 respecto a la circunferencia C: x2 + y2 – 3x – 10 = 0 Resolvemos el sistema: x + 4y – 5 = 0  x = 5 – 4y x2 + y2 – 3x – 10 = 0 (5 – 4y)2 + y2 – 3(5 – 4y) – 10 = 0 25 – 40y + 16y2 + y2 – 15 + 12y – 10 = 0 17y2 – 28y = 0  y.(17y – 28) = 0 Solución: y1 = 0 ,, y2 = 28/17 Al haber dos valores de y, implica dos puntos de corte  Recta secante Los dos puntos de corte de recta y circunferencia son: x1=5 – 4.0 = 5  Pc(5, 0) x2=5 – 4.(28/17) = (85 – 112)/17 = - 27/17  Pc(-27/17, 28/17) La longitud de la cuerda será: d=√(5+27/17)2 +(28/17)2 = √(43,40 +2,71) = 6,79 u. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

POSICIÓN DE CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES La distancia entre centros es mayor que la suma de los radios, r y r’. d(C, C’) > r + r’ TANGENTES La distancia entre centros, es igual a la suma de los radios radios, r y r’. d(C, C’) = r + r’ SECANTES La distancia entre centros es menor que la suma de los radios, r y r’. d(C, C’) < r + r’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

POSICIÓN DE CIRCUNFERENCIAS C=C’ INTERIORES La distancia entre centros es menor que la diferencia de los radios. d(C, C’) > r – r’ TANGENTES INTERIORES La distancia entre centros, es igual a la diferencia de los radios, r y r’. d(C, C’) = r – r’ CONCÉNTRICAS Los centros coinciden. No existen puntos de corte. C = C’ y r <> r’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios 9.- Hallar la posición relativa de las circunferencias C1: x2 + y2 – 9 = 0 y C2: (x – 3)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 Centros y radios: C1(0, 0) ,, r1= 3 C2(3, 4) ,, r2=5 Distancia entre centros: d=√(3 – 0)2 +(4 – 0)2 = √(9+16) = 5 d < r1+r2 ,, 5 < 3+5  Las circunferencias son secantes. 10.- Hallar la posición relativa de las circunferencias C1: (x – 1)2 + y2 – 1 = 0 y C2: (x – 1)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 C1(1, 0) ,, r1= 1 C2(0, 4) ,, r2=5 d=√(1 – 1)2 +(4 – 0)2 = √16 = 4 d = r2 – r1 ,, 4 = 5 – 1  Las circunferencias son tangentes interiores. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS