Distribuciones bidimensionales. Tablas de contingencia Distribuciones bidimensionales. Tablas de contingencia. Regresión lineal 2.1 Distribución de frecuencias bidimensional 2.2 Distribuciones marginales y condicionadas 2.3 Dependencia e independencia estadística. Indicadores de asociación 2.4 Regresión y correlación lineal

2.1 Distribución de frecuencias bidimensional ♦ Ejemplo . X: “Peso”, Y: “Estatura” X\Y 140-160 160-180 180-200 >200 Marginal X 40-60 10 6 2 18 60-80 8 12 28 80-100 1 25 Marginal Y 19 26 71 Frecuencias Marginales Frecuencias Marginales de X Frecuencias Marginales de Y Frecuencias Condicionadas Frecuencias Condicionadas de X Frecuencias Condicionadas de Y

2.2 Distribuciones marginales y condicionadas Distribución marginal de X ♦ Distribución de la variable X: “Peso” X \ Y 40-60 60-80 80-100 Marginal Y 140-160 10 8 1 19 160-180 6 12 8 26 180-200 2 6 10 18 >200 2 6 8 Marginal X 18 28 25 71

Distribución marginal de X ♦ Distribución de la variable X: “Peso” Frecuencias Marginales 40-60 18 60-80 28 80-100 25 71 Media Marginal de X Varianza Marginal de X Mediana Marginal de X

Distribución marginal de Y ♦ Distribución de la variable Y: “Estatura” X \ Y 140-160 160-180 180-200 >200 Marginal X 40-60 10 6 2 18 60-80 8 12 6 2 28 80-100 1 8 10 6 25 Marginal Y 19 26 18 8 71

Distribución marginal de Y ♦ Distribución de la variable Y: “Estatura” Y Frecuencias Marginales 140-160 19 160-180 26 180-200 18 >200 8 71 Media Marginal de Y Varianza Marginal de Y Mediana Marginal de Y

Distribuciones de X Condicionadas a valores de Y ♦ Ejemplo . Distribución de X Condicionada a 160 < Y < 180 X\Y 40-60 60-80 80-100 Marginal Y 140-160 10 8 1 19 160-180 6 12 8 26 180-200 2 6 10 18 >200 2 6 8 Marginal X 18 28 25 71

♦ Ejemplo . Distribución de X Condicionada a 160 < Y < 180 Frecuencias condicionadas 40-60 6 60-80 12 80-100 8 26 Medias Condicionadas de X Varianzas Condicionadas de X

Distribuciones de Y Condicionadas a valores de X ♦ Ejemplo . Distribución de Y Condicionada a 60 < X < 80 X\Y 140-160 160-180 180-200 >200 Marginal X 40-60 10 6 2 18 60-80 8 12 6 2 28 80-100 1 8 10 6 25 Marginal Y 19 26 18 8 71

♦ Ejemplo . Distribución de Y Condicionada a 60 < X < 80 Frecuencias condicionadas 140-160 8 160-180 12 180-200 6 >200 2 total 28 Medias Condicionadas de Y Varianzas Condicionadas de Y

2.4 Dependencia e independencia estadística. Indicadores de asociación No hay relación entre las variables Dependencia estadística Hay relación entre las variables El grado de asociación se mide mediante los coeficientes de asociación

♦ Ejemplo. Variables X e Y Independientes X\Y Y1 Y2 Y3 Y4 ni ● X1 n11 = 2 n12 = 6 n13 = 4 n14 = 8 n1 ● = 20 X2 n21 = 3 n22 = 9 n23 n24 = 12 n2 ● = 30 X3 n31 = 1 n32 n33 n34 n3 ● = 10 n ●j n ●1 n ●2 = 18 n ●3 n ●4 = 24 n = 60 Independencia estadística

♦ Ejemplo. Variables X e Y No Independientes X\Y Y1 Y2 Y3 Y4 ni ● X1 n11 = 3 n12 = 6 n13 = 4 n14 = 8 n1 ● = 21 X2 n21 n22 = 10 n23 n24 = 12 n2 ● = 31 X3 n31 = 1 n32 n33 = 2 n34 n3 ● n ●j n ●1 = 7 n ●2 = 19 n ●3 n ●4 = 24 n = 62 Independencia estadística

♦ Estadístico Chi-Cuadrado de asociación siendo las frecuencias teóricas que obtendríamos si las dos variables fueran independientes. Independencia estadística Recordamos… Si las variables fueran independientes, el coeficiente se anularía. Tiene el inconveniente de que depende del tamaño de la población. ♦ Estadístico T-Tschuprow de asociación Cuanto más se acerca a 1, mayor es la asociación 14

2.4 Regresión y correlación lineal Definición de Covarianza Mide el grado de correlación lineal entre las variables X e Y. Si tienen una relación positiva, la covarianza será positiva y en el caso de una relación negativa, la covarianza será negativa. Regresión “Búsqueda de una función matemática sencilla que relacione ambas variables y sirva para predecir la variable de interés del problema”

Especificación de función de regresión Nube de puntos (diagrama de dispersión): gráfico de las observaciones (datos bidimensionales) Especificación de función de regresión Elección de la función de regresión : tipo de función que mejor se ajuste a la nube de puntos: Lineal , polinómica, exponencial…… Correlación Estudio del grado de asociación entre las variables

Recta de mínimos cuadrados de Y / X Rectas de regresión Recta de mínimos cuadrados de Y / X Y y = a + bx * * * * yj* (xi, yj* ) eij * * * * yj (xi, yj ) * * * X xi Ecuaciones normales

Recta de mínimos cuadrados de Y / X Ecuación de una recta: b = pendiente de la recta o coeficiente de regresión de Y / X “Variación de Y que se produce por cada unidad de aumento en X” a= ordenada en el origen

Recta de mínimos cuadrados de X / Y d = coeficiente de regresión de X / Y “Variación de X si Y aumenta en una unidad” Propiedad: “Las dos rectas de regresión se cortan en el el punto “

Coeficiente de determinación y coeficiente de correlación lineal Coeficiente de correlación lineal de Pearson Es una medida del grado de relación lineal entre las variables X e Y 20

Coeficiente de determinación Coeficiente de determinación y coeficiente de correlación lineal Coeficiente de determinación “Proporción de la varianza explicada por la regresión” Como es la proporción de la varianza de Y, explicada por la regresión, proporciona una medida de la bondad del ajuste obtenido. En regresión lineal simple, este coeficiente coincide con el coeficiente de correlación lineal de Pearson al cuadrado, es decir: Propiedad: , donde b y d son las pendientes de las rectas de regresión.

♦ Ejemplo. X= “Estatura”, Y= “Peso” x i yi x i yi x i2 Yi2 160 52 8320 25600 2704 172 64 11008 29584 4096 174 65 11310 30276 4225 176 72 12672 30976 5184 180 78 14040 32400 6084 =862 = 331 = 57350 = 148836 = 22293

Otros tipos de ajuste Parabólico Exponencial Potencial Hiperbólico