Fundamentos de Programación Matemática y Casos de Estudio en Economía. Universidad de los Andes-CODENSA
Serie Temporal de Precios en Activos A y B Precio del Activo A •Periodo(día, mes, año) Precio del Activo B •Periodo(día, mes, año)
Serie Temporal del Retorno Continuo Compuesto de Activos A y B Activo A Activo B
Retorno con Dividendos y Retorno Discreto donde DivA,t es la serie temporal de dividendos del Activo A Retorno Discreto
Retorno Continuo Compuesto Supone un crecimiento exponencial en el precio del activo en cada periodo Tasa de crecimiento del precio del activo en el periodo t
Medida del Retorno del Activo y del Riesgo de un Activo Lista periódica de precios de un Activo Lista periódica de retornos de un Activo Retorno esperado del Activo Varianza del retorno del Activo Desviación Estándar del Activo
Comparación entre Activos y Criterio de Selección Comparación entre Activos, Retorno vs Riesgo Criterio de Selección de Activos
Manejo de Datos para Dos Activos Serie de Precios de los Activos A y B Serie de Retornos de los Activos A y B Retornos Esperados Covarianza de los Retornos de los Activos A y B
Coeficiente de Correlación para los Retornos de los Activos A y B Varianza de un solo Activo Coeficiente de Correlación Medida de la relación lineal entre dos muestras. Instrumento para cuantificar la dependencia lineal entre el retorno de dos activos.
Análisis de Portafolios Composición del Portafolio Retorno esperado del Portafolio Riesgo en el Portafolio
Justificación La esperanza es una operación lineal La varianza no es una operación lineal
Portafolios Factibles Es el conjunto de los posibles portafolios que se pueden obtener eligiendo diferentes proporciones entre los activos A y B Retorno vs Riesgo para los portafolios factibles
Comparación entre Portafolios Factibles. Criterio de Selección de portafolios.
Portafolios Envolventes y Eficientes
Frontera Eficiente
Manejo de Datos para Varios Activos Grupo de Activos Precios para cada Activo Retornos para cada Activo Retorno Esperado para cada Activo
Matriz de Covarianza Covarianza entre los Retornos de los Activos Ai y Aj Grandes requisitos de Cómputo y almacenamiento de Datos
Diseño de Portafolios Composición del Portafolio Retorno esperado del portafolio (Lineal) Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)
Riesgo en el Portafolio Composición del Portafolio Retorno esperado del portafolio (Lineal)
Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)
Optimización de Portafolios Portafolios Envolventes: Minimizar el Riesgo para un Retorno Fijo. Problema de Optimización: Problema Cuadrático.
Análisis de Factibilidad Conjunto Factible no vacío. Combinación Convexa.
Convexidad Programa Convexo Conjunto Factible Convexo. Función Objetivo Convexa
Matriz de Correlación Semidefinida Positiva
Cálculo de la Frontera Eficiente Programa Matemático bajo Restricciones en Forma de Igualdad Función Lagrangiana Condiciones de Primer Orden
Forma Vectorial Sistemas de Ecuaciones Lineales basado en la Matriz de Covarianza S. Inversa de la Matriz de Covarianza
Multiplicadores de Lagrange
Ecuaciones
Solución
Frontera Eficiente
Forma de la Frontera Eficiente
Estrictamente Convexa Retorno con Riesgo Mínimo
Teoría de Portafolios Caracterización de Portafolios Eficientes Teorema de Black Teorema del Fondo Mutuo (Merton) Correlación entre Portafolios Eficientes
Caracterización de Portafolios Eficientes Solución al sistema de ecuaciones lineales dado por S (la matriz de Covarianza) Justificación: Condiciones de primer orden en la función Lagrangiana
Representación Geométrica Programa Matemático: Un portafolio eficiente, siempre maximiza la pendiente en el punto de tangencia.
Teorema de Black Una combinación convexa de dos portafolios eficientes produce otro portafolio eficiente. Demostración: Las soluciones normalizadas al sistema lineal son cerradas bajo combinaciones convexas.
Teorema del Fondo Mutuo Un portafolio eficiente puede expresarse como combinación convexa de dos portafolios eficientes. Justificación: Sistema de ecuaciones lineales basado en la matriz de covarianza S Inversa de la matriz de covarianza
Multiplicadores de Lagrange y Retorno Esperado
Definición de Nuevos Portafolios Eficientes
Parámetros, Retornos y Riesgo. Condiciones
Elipse de correlación nula. Espacio de Portafolios Eficientes Conclusiones No hay dos portafolios eficientes completamente in-correlacionados. Todos los portafolios eficientes están correlacionados positivamente.
Activos sin Riesgo Implicaciones de la Correlación Correlación para dos Activos
Activos sin Riesgo Activo sin riesgo + Activos Riesgosos
Línea de Mercado de Capital
Pendiente de la Línea de Mercado Capital P es un portafolio eficiente y A es cualquier portafolio factible.
Formula General para la Línea de Mercado de Capital Para cualquier portafolio A factible y P eficiente. Portafolio con Activos sin Riesgo.
Portafolios con Activos sin Riesgo – Endeudamiento Teorema de Separación: Activo sin Riesgo + Portafolio Eficiente.
Curvas de Indiferencia
Problema Minimizar Sujeto a El Lagrangiano es: Condiciones de Primer Orden
Riesgo-Retorno Conjunto Envolvente
Frontera Eficiente Teorema de Separación Un portafolio eficiente con activos sin riesgo es la elección con aversión al riesgo entre un activo sin riesgo y un portafolio eficiente compuesto solamente de activos con riesgo: Portafolio de Mercado.
Portafolio Eficiente Condiciones de Primer Orden Nuevos Portafolios
Propiedades Línea de Mercado del Activo
Índice Beta
Bibliografía “Portfolio Selection”, Harry Markowitz, 1959. “An analytic derivation of the efficient portfolio frontier”, Robert Merton, J. of Financial and Quantitative Analysis, 1972. “Portfolio Theory and Capital Markets”, William Sharpe, 1970. “Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets”, Harry Markowitz, 1987. “Continuous Time Finance”, Robert Merton, 1990. “Investments”, W. Sharpe and G. Alexander, 1990. “Active Portfolio Management”, Grinold and Kahn, 2000. “Financial Modeling”, Simon Benninga, 2000. “Mathematics for Finance”, Capinski and Zastawniak “Modern Portfolio Theory and Investment”, Elton, et. al.