GEOMETRÍA Actividades resueltas MATEMÁTICAS II GEOMETRÍA Actividades resueltas

EL ESPACIO AFÍN

Un vector v define una dirección en el espacio RESUMEN TEÓRICO (1) LA RECTA Un vector v define una dirección en el espacio P (x, y, z) = (x1, y1, z1) + (vx, vy, vz) Una recta vectorial se consigue multiplicando v por un parámetro : v v x = x1 + vx y = y1 + vy z = z1 + vz X Ecuaciones paramétricas Si hacemos que pase por un punto P, obtenemos la forma vectorial de la ecuación de la recta: X(x, y, z) P(x1, y1, z1) v(vx, vy, vz) Eliminando parámetros = + Ecuación en forma continua

RESUMEN TEÓRICO (2) EL PLANO PX = v + w Ax + By + Cz + D = 0 Dos vectores linealmente independientes, v(vx, vy, vz) y w(wx, wy, wz), determinan un plano  P Cualquier vector u de  es combinación lineal de v y w: u = v + w X(x, y, z) v Eliminamos los parámetros  y  y se obtiene la expresión de la ecuación general del plano: Pero los vectores son libres Necesitamos indicar un punto P(x1, y1, z1) para fijar el plano u w PX = v + w Ax + By + Cz + D = 0 x – x1 = vx + wx y – y1 = vy + wy z – z1 = vz + wz x = x1 + vx + wx y = y1 + vy + wy z = z1 + vz + wz Ecuaciones paramétricas del plano

intersección de dos planos RESUMEN TEÓRICO (y 3) LA RECTA EL PLANO x = x1 + vx y = y1 + vy z = z1 + vz x = +  y = +  z = +  P(x1, y1, z1) v(vx, vy, vz) w(wx, wy, wz) P(x1, y1, z1) v(vx, vy, vz) x1 y1 z1 Ecs. paramétricas vx vy vz x = x1 + vx + wx y = y1 + vy + wy z = z1 + vz + wz x - y - z - = = Ecs. forma continua Ecs. paramétricas Ax + By + Cz + D = 0 A’x + B’y + C’z +D’ = 0 Ax + By + Cz + D = 0 Ec. forma general Recta dada por intersección de dos planos

54 Dibuja un sistema de referencia con el origen en un vértice de un cubo y los vectores de la base, las tres aristas concurrentes en ese punto. Determina las coordenadas del vértice del cubo que no está sobre los planos de coordenadas.

Z P(1, 1, 1) 1 Y 1 (1, 0, 0) (0, 1, 0) 1 X

Haz lo mismo que en la actividad anterior, pero ahora con un ortoedro. 55 Haz lo mismo que en la actividad anterior, pero ahora con un ortoedro.

Z P(a, b, c) c Y a (a, 0, 0) (a, b, 0) b X

56 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2, 3) y tiene la dirección del vector v(4, 5, 6).

recta v(4, 5, 6) VECTOR LIBRE P(1, 2, 3)

57 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y B(6, 5, 4).

Vector que une A con B: v: (6 – 1, 5 – 2, 4 – 3) = (5, 3, 2) Podemos obtener las ecuaciones paramétricas de la recta a partir de un punto (por ejemplo el A) y un vector: v: OX = OA + v x = 1 + 5  y = 2 + 3  z = 3 + 2  ecuaciones paramétricas componentes de v coordenadas de A Pasamos ahora de forma paramétrica a forma continua:

x = 1 + 5  y = 2 + 3  z = 3 + 2  y como el valor de es el mismo en las tres igualdades: Coordenadas de A Componentes de v que son las ecuaciones de la recta en forma continua

58 Halla la ecuación del plano que contiene el punto P(1, 0, 2) y los vectores u(3, 2, 1) y v(2, 1, 3).

Ecuaciones parámetricas: x = y = z = +  +  +  +  +  +  … eliminamos parámetros: v(2, 1, 3) 2 1 3 P(1, 0, 2) 1 2 u(3, 2, 1) 3 2 1 Ecuación general del plano: 5x – 7y – z – 3 = 0

Halla la ecuación del plano definido por los puntos 59 Halla la ecuación del plano definido por los puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 0) y C(1, 1, 2).

Ecuaciones paramétricas: y = 1 + 1· + 0· Z x = 2 + 1· + 1· Ecuaciones paramétricas: y = 1 + 1· + 0· z = 0 - 2· - 2· A(1, 0, 2) C(1, 1, 2) BC(1, 0, -2) BA(1, 1, -2) Y Ecuación general: 2x – z – 4 = 0 B(2, 1, 0) X

Forma equivalente: ecuación del plano dado por tres puntos: Z Forma equivalente: ecuación del plano dado por tres puntos: A(1, 0, 2) C(1, 1, 2) Y Ecuación general: 2x – z – 4 = 0 B(2, 1, 0) X

60 Calcula, de dos maneras distintas, la ecuación de un plano que, pasando por el origen, contenga al segmento de extremos A(1, 2, 3) y B(0, 0, -1).

El origen es el punto O(0, 0, 0). Tenemos, pues, tres puntos: A (1, 2, 3) B (0, 0, -1) O (0, 0, 0) … y desarrollando el determinante: Ecuación general del plano: 2x – y = 0

Otra forma de obtener la ecuación del plano es obtener dos vectores linealmente independientes. OA (1, 2, 3) OB (0, 0, -1) Punto O(0, 0, 0) … de donde, desarrollando el determinante, se obtiene: Ecuación general del plano: 2x – y = 0

61 Un plano contiene a las rectas x = 1 +  y = 2 z = 3 + 2 r: x – 1 = y – 2 = z –3 y s: Halla su ecuación.

r: x – 1 = y – 2 = z –3 x = 1 +  y = 2 z = 3 + 2 s: v( , , ) 1 1 1 1 w( , , ) x – 1 y – 2 z – 3 1 1 2 s:  = 0 2 P( , , ) 1 2 3 Ecuación general del plano: 2x – y – z + 3 = 0

62 Utilizando las propiedades de los determinantes, comprueba que son equivalentes las formas de ecuación de un plano: Ax + By + Cz + D = 0 y

Desarrollamos por los elementos de la primera columna: (p2q3 – p3q2) (x – x0) – (p1q3 – p3q1) (y – y0) (p1q2 – p2q1) (z – z0) = 0 + A + B + C Y, por último, operamos los paréntesis: Ax – Ax0 + By – By0 + Cz – Cz0 = 0 Ax + By + Cz + D = 0

63 Posición relativa de los planos: 1: 3x+2y-z+7=0 y 2: 2x-y+z-1=0.

  1: 3x + 2y – z + 7 = 0 2: 2x - y + z -1 = 0 3 2 -1 2 -1 1 PLANOS SECANTES Los planos son SECANTES: se cortan en una recta Los planos son SECANTES: se cortan en una recta

64 Posición relativa de los planos: 1: 6x + 12y - 9z + 1 = 0 y 2: 2x + 4y - 3z – 7 = 0.

= = =   3  1: 6x + 12y - 9z + 1 = 0 2: 2x + 4y - 3z – 7 = 0 6 12 -7  = = = 3   PLANOS PARALELOS ¡No coincidentes! Los planos son PARALELOS (NO COINCIDENTES) Los planos son PARALELOS (NO COINCIDENTES)

65 Posición relativa de los planos: 1: 6x + 12y - 9z + 15 = 0 y 2: 2x + 4y - 3z – 5 = 0.

= = = =  3  1: 6x + 12y - 9z + 15 = 0 2: 2x + 4y - 3z + 5 = 0 6 12 PLANOS PARALELOS ¡COINCIDENTES! Los planos son COINCIDENTES: ambas ecuaciones corresponden al MISMO PLANO Los planos son COINCIDENTES: ambas ecuaciones corresponden al MISMO PLANO

66 1: 3x + 2y – z + 7 = 0 2: 2x – y + z – 1 = 0 3: x + y + z = 0 Posición relativa de los planos:

(-1, -1, 2) Estudiar la posición relativa de los planos: Equivale a discutir el sistema de ecuaciones: 1: 3x + 2y – z + 7 = 0 2: 2x – y + z – 1 = 0 3: x + y + z = 0 3 2 1 2 -1 1 -1 1 = - 7 = 1 = 0 rango = 3 S. C. D. Solución única (- 1, - 1, 2) (-1, -1, 2) Los tres planos se cortan en el punto:

67 Estudia, en función de los valores del parámetro k, la posición relativa de los planos: 1: 3x – ky + 2z - (k - 1) = 0 2: 2x - 5y + 3z – 1 = 0 3: x + 3y - (k - 1)z = 0.

1: 3x – ky + 2z – (k – 1) = 0 2: 2x – 5y + 3z – 1 = 0 3: x + 3y – (k – 1)z = 0. 3 2 1 - k - 5 3 2 3 1 - k = k – 1 = 1 = 0 Se trata de discutir el sistema de ecuaciones: |A| = - 2k2 + 14k - 20 A = |A| = 0  - 2k2 + 14k – 20 = 0  k = 2 o k = 5 Si k  2 y k  5, entonces rango(A) = 3 = rango B Sistema Compatible Determinado: SOLUCIÓN ÚNICA

3 - 2 2 A = 2 - 5 3  1 3 - 1 Si k = 2, Rango(A) = 2 Sistema Compatible Indeterminado B =  Rango(B) = 2 3 - 5 2 A = 2 - 5 3  1 3 - 4 Si k = 5, Rango(A) = 2 Sistema Incompatible B =  Rango(B) = 3

 Si k  2 y k  5  S. C. D. (Solución única) En resumen:  Si k  2 y k  5  S. C. D. (Solución única) 2 Los tres planos se cortan en un punto 123 = P 1 3  Si k = 2  S. C. I. (∞ soluciones) Los tres planos se cortan en una recta 123 = r  Si k = 2  S. I. (No hay soluciones) Los planos se cortan dos a dos

68 Halla la ecuación de “todas las hojas de un libro, en cualquier posición de lectura”, sabiendo que las ‘tapas, abiertas en una determinada posición” tienen de ecuación:

Las distintas posiciones corresponderán a los planos del haz que tiene por eje la recta r Por tanto, la ecuación es:  ( ) +  

69 El núcleo de un transformador de corriente eléctrica está formado por placas de metal separadas por capas de aislante o dieléctrico. Halla la ‘ecuación de esas capas’, si la de la primera metálica es x + y + z = 1

Por tanto, la ecuación del haz de planos paralelos es: Como se trata de planos paralelos, lo único que cambiará en la ecuación será el término independiente… x + y + z = n

70 Determina la ecuación del haz de planos que tiene por eje o arista la recta que pasa por los puntos A(0, 1, 1) y B(1, 0, -2).

Hallamos las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A y B: Las pasamos a la forma de intersección de dos planos 1 - 1·x = 1·(y – 1) x + y – 1 = 0 2 -3·x = 1·(z – 1) 3x + z – 1 = 0 Y ya tenemos dos planos del haz Por tanto, la ecuación del haz de planos es: (x + y – 1) + (3x + z – 1) = 0

estudia la posición relativa de cada par de ellas. 71 Dadas las rectas: r: s: t: estudia la posición relativa de cada par de ellas.

I. Posición relativa de r y t 1: x - y - 1 = 0 2: 2y - z + 2 = 0 x y 1 = 1 2y z 2 = -1 Vector dirección de r: v (1, 1, 2)  v ≡ w Ecs. Paramétricas de t x = 1 +  y =  z = 2 + 2  1 Punto de r: A( , , ) + RECTAS PARALELAS  AB ( 1, -1, 3) y =  Punto de t: B( , , ) + 2 Vector dirección de t: w (1, 1, 2) NO COINCIDENTES

No tienen la misma dirección II. Posición relativa de r y s 1 2 1 -1 Vector dirección de r: v (1, 1, 2) No tienen la misma dirección Componentes NO proporcionales Vector dirección de s: u (1, 2, 1) Punto de r: A( , , )  AC (1, -1, 3) Punto de s: C( , , ) 1 2 1 2 1 -1 3 rango = 3 Vectores NO COPLANARIOS Vectores linealmente independientes Las rectas SE CRUZAN

No tienen la misma dirección III. Posición relativa de s y t 1: x - y - 1 = 0 2: 2y - z + 2 = 0 Según se ha visto: Vector dirección de s: u (1, 2, 1) Componentes NO proporcionales No tienen la misma dirección Vector dirección de t: w (1, 1, 2) C(1, 0, 2)  s Por tanto B ≡ C  st B(1, 0, 2)  t Las rectas tienen un punto en común: SON COPLANARIAS y SECANTES

72 Estudia la posición relativa del plano : x + y + z + 1 = 0 con la recta de ecuaciones r: x - 1 = 2 - y = z / 3.

Pasamos la ecuación de r a forma paramétrica: x = 1 + t y = 2 – t z = 3t (1 + t)  x = x – 1 = 2 – y = = t  (2 – t)  y = 3t  z = Sustituimos las expresiones de x, y, z en la ecuación de : x + y + z + 1 = 0  3t + 4 = 0  t =  Ecuación compatible La recta INCIDE en el plano en el punto: P( , , )

73 Halla el punto de intersección de la recta x = 2t y = 3t + 1 z = t con el plano 3x + 2y –11z – 5 = 0.

Sustituimos las expresiones de x, y, z de las ecuaciones paramétricas, en la ecuación del plano x = 2t y = 3t + 1 z = t 6 2t (3t + 1) 10 3 x + 2 y – 11 z – 5 = 0 6t 6t + 2 3 t t = 3 t - 3 = 0 3 3 3 Llevamos ahora este valor del parámetro a las ecuaciones de la recta para obtener el punto de intersección: ( , , ) 10

74 Estudia la posición relativa del plano : x + y + z + 1 = 0 y las rectas r: x = y = y s:

r es PARALELA a  PARALELA I. Posición relativa de  y r: r: x = y = Sustituimos en la ecuación del plano: z + z + 1 = 0 - z : x + y + z + 1 = 0 ¡Pero esto es falso! Por tanto, recta y plano NO tienen ningún punto común r es PARALELA a  PARALELA

II. Posición relativa de  y s: x – y = 0 2x + z = - 1 x + y + z = - 1 1 -1 0 2 0 1 1 1 1 x – y = 0 2x + z + 1 = 0 -1 s: : x + y + z + 1 = 0 Procedemos a discutir este sistema 1 -1 2 0 1 1 s  rango = 2 La recta s está contenida en el plano  S. C. I. rango = 2 s  

Fin de “Espacio Afin”

ESPACIO EUCLÍDEO

Distancia entre dos puntos RESUMEN TEÓRICO (1) Distancia entre dos puntos A(x1, y1, z1) d(A, B) = B(x2, y2, z2) (coincide con el módulo del vector AB) Ángulo entre dos vectores v y w v(v1, v2, v3) w(w1, w2, w3) Producto escalar v·w = |v|·|w|·cos  = v1w1 + v2w2 + v3w3 |v|·|w| cos  v1w1 + v2w2 + v3w3 = ————————

RESUMEN TEÓRICO (2) Producto vectorial w  v Dirección perpendicular al plano vw v(v1, v2, v3) w(w1, w2, w3) vw es un vector Sentido: regla del sacacorchos Módulo: | vw | = |v|·|w|· sen  vw w  v Regla práctica: vw =

Aplicaciones del producto vectorial RESUMEN TEÓRICO ( y 3) Aplicaciones del producto vectorial 1 2 Área = |vw| w altura = |w|·sen   Área = base  altura ·|w|·sen  = |vw| base |v| v

Regla práctica: u·(vw) = RESUMEN TEÓRICO ( y 3) vw Volumen = Base  altura Base altura u  w  |vw| = v = |u|· |u|·sen  sen  Volumen = |vw| cos  producto mixto u·(vw) 1 6 V = u·(vw) Regla práctica: u·(vw) =

75 Comprueba que los tres productos escalares de los vectores de la base por sí mismos dan la unidad.

i(1, 0, 0) |i| = = 1 j(0, 1, 0) |j| = = 1 = 1 k(0, 0, 1) |k| = i·i = (1, 0, 0)·(1, 0, 0) = 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1 1 i·i = |i|·|i|·cos(i, i) = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1 j·j = (0, 1, 0)·(0, 1, 0) = 0·0 + 1·1 + 0·0 = 1 1 j·j = |j|·|j|·cos(j, j) = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1 k·k = (0, 0, 1)·(0, 0, 1) = 0·0 + 0·0 + 1·1 = 1 1 k·k = |k|·|k|·cos(k, k) = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1

76 Verifica que los tres productos escalares de dos vectores distintos de la base son nulos.

i(1, 0, 0) |i| = = 1 j(0, 1, 0) |j| = = 1 = 1 k(0, 0, 1) |k| = i·j = (1, 0, 0)·(0, 1, 0) = 1·0 + 0·1 + 0·0 = 0 i·j = |i|·|j|·cos(i, j) = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0 i·k = (1, 0, 0)·(0, 0, 1) = 1·0 + 0·0 + 0·1 = 0 i·k = |i|·|k|·cos(i, k) = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0 j·k = (0, 1, 0)·(0, 0, 1) = 0·0 + 1·0 + 0·1 = 0 j·k = |j|·|k|·cos(j, k) = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0

77 Halla el producto escalar de los dos vectores representados en la figura.

Por tanto, u · v = 2 u v u (1, 0, 1) (1, 0, 1) v (1, 1, 1) (1, 1, 1) (0, 0, 0) v (1, 1, 1) (1, 1, 1) · = · = 1·1 + 0·1 + 1·1 = 2 Por tanto, u · v = 2

78 Calcula a y b en los vectores (1, 2, a) y (b, -1, 0), sabiendo que tienen producto escalar nulo y que las componentes primera y tercera de su suma coinciden.

v(1, 2, a) w(b, -1, 0) v + w = (1, 2, a) + ( b, -1, 0) 1 2 a b -1 1+b, 1+b = ( 1, a) a Componentes 1ª y 3ª coinciden: a – b = 1 a – b = 1 = v · w = (1, 2, a) · ( b, -1, 0) 1 2 a b -1 = b - 2 + = 0  b = 2 b = 2 a – 2 = 1 a = 3 Por tanto, a = 3 y b = 2

79 Dada la recta r: (A, u) y el plano : Ax+By+Cz+D=0, ¿por qué es condición necesaria y suficiente para que sean paralelos que Au1 + Bu2 + Cu3 = 0?

Vector dirección de r: u(u1, u2, u3) (u1, u2, u3) r(A, u) A u r (A, B, C) : Ax + By + Cz + D = 0 A B C  Vector dirección de r: u(u1, u2, u3) (u1, u2, u3) ¡PERPENDICULARES! Vector característico de : (A, B, C) (A, B, C) Producto escalar nulo · = 0  Au1 + Bu2 + Cu3 = 0

80 Halla la dirección de todos los clavos ‘clavados derechos’ en un tablero cuya ecuación es: = 0

La dirección vendrá dada por un vector cuya dirección sea perpendicular al plano dado: 1 2 1 v(1, 0, 1) v w w(2, 1, 1) Una dirección perpendicular a v y a w nos la da el producto vectorial de ambos: = i - j + k = (-1, 1, 1) (-1, 1, 1)

81 Halla los ángulos entre los planos siguientes: 1: x + y + z + 2 = 0, 2: x – 2z = 0 b) 1: 3x + 4z – 1 = 0, 2: z = 0

  El ángulo formado por dos planos es el mismo que el formado por sus vectores característicos v·w = |v|·|w|·cos = v1w1 + v2w2 + v3w3 |v|·|w| cos = v1w1 + v2w2 + v3w3 Por tanto, hallaremos el ángulo entre vectores característicos 1: x + y + z + 2 = 0 2: x – 2z = 0 1 1 v( , , ) 1 1 1 |v| = a) 0 -2 w( , , ) 1 0 -2 |w| = · + · + · cos = =  = arc cos  105º ·

 v1w1 + v2w2 + v3w3 cos = |v|·|w| 1: 3x + 4z – 1 = 0 2: z = 0 3 0 4 v( , , ) |v| = 3 0 4 5 5 b) w( , , ) 0 0 1 |w| = 1 1 0 0 1 · + · + · cos = =  = arc cos  36º52’ ·

82 Considera el ángulo triedro de aristas: r: x = y = z s: x = = y t: Halla lo que miden sus tres ángulos diedros. y 2 z 3

Vector dirección v (1, 1, 1) : x = y = z v u w y z 2 3 Vector dirección w (1, 2, 3) : x = — = — Vector dirección u(1, -1, 2) 1 3 2 t t Vector característico de 1: r r vw = = (1, -2, 1) s s Vector característico de 2: Vector característico de 3: uw = = (-7, -1, 3) uv = = (-3, 1, 2)

Ahora, para calcular los ángulos entre cada dos planos, averiguamos el ángulo entre los respectivos vectores característicos:  (1, -2, 1)·(-7, -1, 3) 1 2 = arc cos  22º |(1, -2, 1)|·|(-7, -1, 3)|  (1, -2, 1)·(-3, 1, 2) 1 3 = arc cos  109º |(1, -2, 1)|·|(-3, 1, 2)|  (-7, -1, 3)·(-3, 1, 2) 2 3 = arc cos  25º |(-7, -1, 3)|·|(-3, 1, 2)|

83 Comprueba que la proyección ortogonal del origen de coordenadas sobre el plano : x + 2y + 3z – 4 = 0 es el punto O’(2/7, 4/7, 6/7)

r r 1 2 3 v( , , ) v 1 2 : x + 2y + 3z – 4 = 0 3 x = t y = t z = t 1t ? O’( , , ) O (r pasa por el origen O) Sólo hay que comprobar que O’ está sobre la recta r =  y = 2t = 2· =  z = 3t = 3· = Por tanto, O’ = ProyO

84 Calcula qué ángulo forman el plano 3x + y - 2z = 0 y la recta r:

w ( , , )  Plano : 3x + y - 2z = 0 3 1 -2 v ( , , )   Recta r: (y = t) r x = 8 + 2t y = t z = – 8 – 3t 2 |v| = r: 1 |w| = -3 v·w 3·2 + 1·1 + (-2)·(-3) 13 14 cos = ——— = ————————— = ——    21º47’ |v|·|w| Luego   68º13’  +  = 90º    90º - 21º47’

85 Calcula el perímetro de un paralelogramo ABCD, siendo tres de sus vértices los puntos A(0, 0, 3), B(1, 2, 3) y C(0, 4, 3).

C(0, 4, 3) y y x x A(0, 0, 3) B(1, 2, 3) = d(A, B) = = = d(B, C) = Perímetro = 2x + 2y = 4

86 Una pirámide tiene su base de 4 cm2 sobre el plano x + y + z = 1, y su vértice o cúspide es el punto V(3, 3, 3). Halla su volumen.

V(3, 3, 3) 3 3 3 1 3 Volumen = — Base · altura Base = 4 cm2  altura = d(V, ) | | 8 : x + y + z – 1 = 0 x + y + z – 1 d(V, ) = ——————— = —— 1 3 8 32 9 Volumen = —— 4 · —— = ———— cm2

87 Calcula las distancias entre los siguientes elementos: El punto P(1, 0, 1) y la recta r: x = y = ——— Las rectas r: x = y = z + 2 y s: x = y – 1 = z Los planos 1: 3x + 4y + 12z – 3 = 0 y 2: 3x + 4y + 12z + 2 = 0. z + 2 2

a) Primera forma … -2 P(1, 0, 1) z + 2 2 r: x = y = ——— 2 1 1 A A( , , ) Q u ( , , ) u es vector característico del plano perpendicular a r que pasa por P: : x + y + 2z – 3 = 0 1·(x – 1) + 1·(y – 0) + 2·(z – 1) = 0 z + 2 2 z + 2 2 Q = r   + + 2z – 3 = 0  z =  d = d(P, r) = d(P, Q) = u

a) Segunda forma … z + 2 2 -2 P(1, 0, 1) r: x = y = ——— 2 1 1 v = AP = (1, 0, 3) A( , , ) A u ( , , ) La distancia de P a la recta es la altura del paralelogramo ÁreaPARALELOGRAMO = Base  altura |uv| |uv| = = |u| |u| · d d |(3, -1, -1)| = = unidades |(1, 1, 2)|

b) A(0, 0, -2) u(1, 1, 1) r: x = y = z + 2 s: x = y – 1 = z B(0, 1, 0) v(1, 1, 1) u = v  RECTAS PARALELAS |AB  v| |v| d = d(r, s) = d(B, r) = r s |(0, 1, 0)(1, 1, 1)| |(1, 1, 1)| Luego, d = = u B

c) 1: 3x + 4y + 12z – 3 = 0 2: 3x + 4y + 12z + 2 = 0. v (3, 4, 12) vector característico PLANOS PARALELOS Dos opciones: 2 – (–3) |v| 5 13 u I. d = |d(O, 2) - d(O, 1)| = = II. Tomar un punto cualquiera P, de 1, y hallar d(P, 2) Por ejemplo, en 1, si y = z = 0  x = 1  P(1, 0, 0) |3·1 + 4·0 + 12·0 + 2| |v| 5 13 d(P, 1) = = u

Calcula el producto vectorial de los vectores p(1, 2, 3) y q(0, 1, 2). 88 Calcula el producto vectorial de los vectores p(1, 2, 3) y q(0, 1, 2).

DIRECCIÓN perpendicular al plano que contiene a p y a q pq = SENTIDO según regla del sacacorchos  MÓDULO |pq| = |p|·|q|·sen (pq) Regla práctica: pq i j k 2 3 0 1 2 q(0, 1, 2) pq = = (1, -2, 1) p(1, 2, 3)

89 Dados p(0, 1, 2) y q(-1, 0, -1), calcula pq y qp y comprueba que se obtienen vectores opuestos.

i j k 0 1 2 -1 0 -1 pq = = ( -1, -2, 1) Vectores opuestos i j k 0 1 2 -1 0 -1 pq = = ( -1, -2, 1) Vectores opuestos i j k -1 0 -1 0 1 2 qp = = ( 1, 2, -1) Signos cambiados

90 Comprueba la no asociatividad del producto vectorial con los vectores p(1, 2, 0), q(1, -1, 3) y r(1, 1, 0)

i j k -1 1 1 0 qr = = (-1, 2, 3) i j k 1 2 0 -1 2 3 p(qr) = = (6, -3, 4) i j k 1 2 0 -1 0 -1 pq = = (-2, 1, 2) i j k -2 1 2 1 1 0 (pq)r = = (-2, 2, -3)

91 Halla el producto vectorial de los vectores ortogonales v(a, 1, 0) y w(1, 0, 1)

Si son ortogonales, el producto escalar es cero v·w = (a, 1, 0)·(1, 0, 1) = a Por tanto: a = 0 w = (1, 0, 1) v = (0, 1, 0) i j k 0 1 0 1 0 1 vw = = (1, 0, -1) vw

92 Escribe la ecuación de un plano que pasa por el origen y tiene dos direcciones u(1, 1, 3) y v(0, -2, 1).

x – 0 1 0 y – 0 1 -2 z – 0 3 1 = 0  7x – y – 2z = 0 O también: uv = v. característico uv v O también: u i j k 1 3 0 -2 1 uv = = (7, -1, -2) 7(x – 0) – 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0   7x – y – 2z = 0

93 Expresa en forma paramétrica y continua la ecuación de la recta r:

Ecuaciones paramétricas x = – 2 – t y = t z = 1 – t x + y + 2 = 0 y + z – 1 = 0 Haciendo y = t Despejando y en ambas Ecuaciones paramétricas x + 2 -1 y = – x – 2 y = – z + 1 y = x + 2 -1 z – 1 -1 = y = z – 1 -1 y = Ecs. en forma continua

94 Analiza qué diferencia esencial hay entre los productos escalar y vectorial.

El resultado del producto vectorial de dos vectores es otro vector. Tiene, por tanto, módulo, dirección y sentido En cambio, el producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, es decir, un número

95 Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A(1, 0, 0), B(1, 1, 1) y C(0, 1, 0)

B(1, 1, 1) w(0, 1, 1) v(-1, 1, 0) A(1, 0, 0) C(0, 1, 0) w = (1 – 1, 1 – 0, 1 – 0) v = (0 – 1, 1 – 0, 0 – 0) |vw| 2 |(1, 1, -1)| 2 √3 2 Área = = = u2

96 Idem con los vértices O(0, 0, 0), A(1, 1, 1) y C(0, 1, 2).

A(1, 1, 1) w(1, 1, 1) v(0, 1, 2) O(0, 0, 0) C(0, 1, 2) w = (1 – 0, 1 – 0, 1 – 0) v = (0 – 1, 1 – 0, 2 – 0) |vw| 2 |(1, -2, 1)| 2 √6 2 Área = = = u2

97 Un rombo tiene de vértices los puntos A(1, 4, 1), B(3, 1, 1), C(5, 4, 1) y D(3, 7, 1). Halla su área, usando la fórmula A = y también descomponiéndolo en triángulos. Comprueba la igualdad de los resultados.

D·d 2 S = d D 6·4 S = 2·Striángulo = 12 u2 2 S = = 12 u2 w(2, -3, 0) B(3, 1, 1) v(4, 0, 0) = |BD| = 7 – 1 = 6 = |AC| = 5 – 1 = 4 d C(5, 4, 1) 1 2 A(1, 4, 1) Striángulo = |vw| = 6 u2 D 6·4 2 S = 2·Striángulo = 12 u2 S = = 12 u2 D(3, 7, 1) También, puesto que el rombo es un paralelogramo: S = |ABAD| = |(2, -3, 0)(2, 3, 0)| = 12 u2

98 ¿Qué puede deducirse del resultado |pXq| = |p||q|, respecto de los vectores p y q?

  Significa que: Puesto que sen(p q) = 1 |pq| = |p|·|q|·sen(p q) O sea, que p y q son PERPENDICULARES Puesto que |pq| = |p|·|q|·sen(p q)  

99 El área de una elipse es el doble de la del círculo que proyecta ortogonalmente sobre un plano . Calcula el ángulo que forma el plano de la elipse con .

½S = S·cos  cos  = ½   = 60º 1 2 S ½S = S·cos  cos  = ½   = 60º

100 Calcula la distancia mínima entre las rectas que se cruzan: r: y s: x – 2y + z = 0 2x – z + 7 = 0 2x + y + z – 6 = 0 x – y = 0

Por tanto, la distancia es: Hacemos x = 0  z = 7  y = 7/2  A(0, 7/2, 7) A 1 x – 2y + z = 0 2x – z + 7 = 0 -2 1 r ( , , )( , , ) = v(2, 3, 4) v 2 -1 2x + y + z – 6 = 0 x – y = 0 2 1 1 Hacemos x = 0  y = 0  z = 6  B(0, 0, 6) B s ( , , )( , , ) = w(1, 1, -3) w 1 -1 Volumen del paralelepípedo = [u, v, w] = Base·altura = |vw|·d [u, v, w] |vw| d d r u s = ———— Por tanto, la distancia es: 0 7/2 1 2 3 4 1 1 -3 — 17√30 45 d = = ——— |(-13, 10, -1)|

Fin de “Espacio Euclídeo”