Modelos de crecimiento y metabolismo microbiano Gustavo Viniegra González Universidad Autónoma Metropolitana, Iztapalapa, D.F.

CICLO DE VIDA DE UN MOHO

Macro cinética de A. niger Larralde-Corona et al., (1997) rA = densidad de superficie (mg/cm2) Al inicio: crecimiento exponencial Al final: densidad máxima rAmax Os valores de, rA y rAmax, dependen de la concentración So

Modelo macroscópico La tasa específica de crecimiento, r, está definida como r = (1/X)dX/dt Se supone que, r, se anula cuando X, se aproxima a, Xmax. Modelo de von Bertanlanffy r = m{1 – (X/Xmax)n} X << Xmax  r  m; X  Xmax, r  0

Consecuencias del modelo Si n = 1; r, vs. X, es una recta. Si n > 1; r vs. X, se inhibe tardíamente. Si n < 1; r vs. X, se inhibe tempranamente. El caso más simple, n=1, (ecuación logística). Punto de inflexión a la mitad del crecimiento

¿Por qué dejan de crecer los hongos filamentosos? Deficiencias en algún factor de crecimiento y en el balance respiratorio. Los ciclos celulares tienen puntos de control sobre los factores de crecimiento. Cuando detectan una faltante, detienen el ciclo celular. La inflexión de la curva ocurre antes de la transición respiratoria.

Respiración de Beauveria bassiana Salvado de trigo o cutícula de grilo. Dos fases respiratorias (Ikasari y Mitchell, 2000) Crecimiento exponencial b) Autólisis de parte de la biomasa Datos: D. Rodríguez, tesis doctoral en la UAMI, 2009

Modelo de Ikasari y Mitchell Fase exponencial t  tC; dX/dt = mX; X = X0exp(mt) Fase final t > tC; dX/dt = m(e-r(t-tc))X; X = Xcexp[(m/r)(1-e-r(t-tc))] t  ; X  Xce(m/r) = Xmax; (Xc/ Xmax) = e(m/r)

Interpretación fisiológica r = (1/X)(dX/dt); tasa específica de crecimiento Condiciones favorables  r= m; constante Condiciones desfavorables  r decrece exponencialmente con el tiempo.

Integración del Modelo I-M (1/X) dX/dt = dln(X)/dt = m(e-r(t-tc)) Integrando, entre XC y XF; y entre tC y t dln(X) = m (e-r(t-tc))dt ln(XF /XC) = (m/r)(1-e-r(t-tc)) Tomando antilogaritmos (XF /XC) =exp[(m/r)(1-e-r(t-tc))]

Modificación a Bertanlanffy X = Xmax/[1+Cexp(-nm(t-tr))]1/n; t > tr C = (Xmax / X0)n -1; condición inicial y final. Si t ; X = X0 ; supone un retardo para la germinación de las esporas.

Comparación de modelos (B vs. I-M) Parámetros: Xo  0.05; Xmax = 0.882 XC = 0.220 = 0.02/h; r = 0.144/h n = 1.23, tr = 10. 4 h La inflexión con B, antes que con I-M (problema numérico)

Sugerencia para los ajustes La fase exponencial se puede medir con precisión (biomasa o respiración)  m El nivel final también se puede medir  Xmax Con esos datos se calcula el punto de inflexión por ajuste numérico . Para el modelo B (n, tr) Para el modelo I-M (tC, r)

Punto de inflexión (modelo B) dX/dt = m{1 – (X/Xmax)n}X; x = X/Xmax dx/dt = m{1 – (x)n} x = mx -m(x)n+1 Inflexión  d2x/dt2 = m[1 –(n+1)(x)n] = 0 x = [1/(n+1)] 1/n n = 1, x = ½. Logística. n < 1, x < ½. Inhibición temprana. n > 1, x > ½. Inhibición tardía.

¿Por qué ajusta la logística (n = 1)? Retardo, tr, despreciable. Punto de inflexión a la mitad de la curva (x = ½). R2 = 0.999 R2 = 0.952 Datos de E. Ortega (2012)

Metabolismo vs. Crecimiento dx/dt = m(1-x)x; x = X/Xmax; s = S/S0 -dS/dt = Xmax[(m/Y)(1-x)x+mx] -dS/dx = Xmax{(1/Y) +m/[m(1-x)]} -dS =(Xmax /Y)dx + (mXmax/m)dx/(1-x) - DS  (Xmax /Y)Dx + (mXmax/m)ln[1/(1-x)] Cuando, (m/m) << 1; - DS  (1/Y)DX

Correlación empírica (S vs X) Cuando X/Xmax < ½ - DS  (1/Y)DX Y = (1/3.45) = 0.29 Es un rendimiento razonable para A. niger Datos de E. Ortega (2012)

Correlación de Pirt 1/Y = 1/Yo + m/m Si: Y0 = 0.5; Y = 0.29; ¿m? m/m = 1/Y - 1/Yo= 3.45 – 2.00 = 1.45 Según Ortega (2012), m = 0.124/h  m = 1.45m = 0.19 gS/(gX*h)

Cómo se ajustan los datos Se tiene un modelo matemático integrado. X = Xmax/[1+(Xmax/Xo – 1)exp(-mt)] Se cuentan con suficientes datos (>2xNo. parámetros). Para cada valor de, t, se calcula, X Se estima S = (Xcalc – Xobs)2 Se minimiza, S, variando los parámetros (Xmax, Xo, m) con la función Solver de Excel.

Conclusiones El modelo general de Bertanlanffy puede seguir al modelo integrado de Ikasari y Mitchell. Es razonable suponer que hay dos fases del crecimiento (exponencial y decaimiento) El modelo logístico ajusta bien muchos datos empíricos. Es fácil correlacionar el metabolismo con el crecimiento, usando el modelo de Pirt.

Problema 1 Un moho se cultiva sobre granos de almidón. Su tasa respiratoria se duplica cada 2.5 h durante el inicio del cultivo. Al final del cultivo se encuentra que Xmax = 0.5g/gS0. El inóculo tenia 4x106 esporas por g de S0. Las esporas tenían 85% de humedad y su diámetro era d = 2x10-4 cm. La transición respiratoria se observó a las 12 h. Construya la curva integrada de crecimiento (X vs. t), según el modelo I-M. Sugerencia: Calcule, r, suponiendo que XF = Xmax.

Problema 2 Un cultivo de Pleurotus ostreatus, crece conforme a la ecuación logística. Al principio, del cultivo se duplica cada 6h. Se inocula con 10 mg por g de materia seca en una fábrica que maneja 10 toneladas de paja (base seca) por tanda. Calcule el tiempo necesario para que se produzca una tonelada de hongos (base seca).

Problema 3 Thermoascus arianticus tiene un rendimiento Yx/O2 = 0.18 gX/gO2 y m = 0.013 gO2/(gX*h)‡. Construya la ecuación de consumo de O2 según el modelo de Pirt y la ecuación logística. Calcule el consumo de O2 (g/h) cuando se tienen dos toneladas de biomasa y el hongo se duplica cada 20 h. Suponga que el hongo se encuentra con la máxima tasa específica de crecimiento. ‡Datos de: dos Santos et al. Biotechnol. Let. 25: 23-26, 2003

Problema 4 Estime, X0, Xmax y m, usando los datos anexos. Construya las curvas, X, vs t; dX/dt vs. t. Compare los datos empíricos con las curvas obtenidas. Estime R2 (calculado vs. observado) Tiempo (horas) Biomasa (g) 0.0 0.00 7.0 0.71 13.5 0.80 17.0 0.95 32.5 4.10 56.0 14.24 81.0 18.75 91.0 19.21 120.0 19.22 Datos de E. Ortega (2012)