Dr. Gustavo Rodríguez Zurita Planos en 3D Dr. Gustavo Rodríguez Zurita

Planos en 3D. n Punto por el que sabemos pasa el plano Punto cualquiera sobre nuestro plano Resta vectorial contenida en el plano Resta perpendicular a normal al plano n Coordenadas de punto en recta cumplen

Ecuación escalar del plano pasando por P0(x0,y0,z0). Ecuación Lineal

Ejemplo 4. Encontrar la ecuación del plano pasando por P(2,4,-1) con normal <2,3,4>. Hallar los interceptos. Usando la ecuación del plano y por los datos, se identifica que substituyendo

Ejemplo 4 Distribuyendo los factores y simplificando La intersección con el eje x sale de y=z=0, 2x=12, o x=6 La intersección con el eje y sale de x=z=0, 3y=12, o y=4 La intersección con el eje z sale de x=y=0, 4z=12, o z=3

Ejemplo 5 Encontrar la ecuación del plano pasando por los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0) Se requieren dos vectores independientes en el plano para encontrar un vector normal usando su producto CRUZ, o vectorial. Los siguientes vectores se encuentran sobre el plano inspeccionado Usando los vectores se encuentra n con producto X

Ejemplo 5 Utilizando el vector P y las componentes de n La intersección con el eje x sale de y=z=0, 6x=50, o x=8.33 La intersección con el eje y sale de x=z=0, 10y=50, o y=5 La intersección con el eje z sale de x=y=0, 7z=50, o z=7.14

Ejemplo 5 Visualizando los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0)

Ejemplo 6 Encontrar el punto de intersección entre la recta de ecuaciones paramétricas y el plano con ecuación Como el punto buscado debe cumplir con ambas expresiones, se sustituyen las paramétricas en la ecuación del plano para hallar t. Regresando a las ecuaciones paramétricas para encontrar las coordenadas correspondientes a t = -2… …indicando que las coordenadas buscadas son

Ejemplo 6

Ejemplo 7 Encontrar el ángulo entre los dos planos descritos por las ecuaciones Encontrar las ecuaciones simétricas para la recta de intersección L. Los ángulos entre los planos son los ángulos entre sus respectivas normales n1 y n2. Por los coeficientes de las ecuaciones: De:

Ejemplo 7 Substituyendo para el coseno: Tomando el arco coseno de 2/√(42) se obtiene un ángulo entre planos de valor 1.257 rad o 72.025°

Ejemplo 7 Se requiere además un punto de cada plano. Puede buscarse uno cualquiera pero común a ambos, el cual pertenecerá a la recta de intersección L. Tomando z = 0 en las ecuaciones de ambos planos, se simplifican éstas. Resolviendo El punto tiene coordenadas <1,0,0> Con ese punto y con los números directores de las normales, las gráficas de los planos, por separado primero, son

Ejemplo 7 Para hallar la ecuación de L, notamos que debe ser perpendicular a los dos vectores normales “simultáneamente”. Un vector perpendicular a las dos normales puede encontrarse con su producto vectorial o CRUZ (X): Las ecuaciones simétricas se pueden escribir entonces como Así, los números directores que pueden usarse para L son a = 5, b = -2 y c = -3.

Ejemplo 8 Encontrar la distancia D entre el punto P1(x1,y1,z1) y el plano ax+by+cz+d = 0. Use P0(x0,y0,z0). P1 D P0

Ejemplo 9 10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1. Encontrar la distancia D entre los planos paralelos 10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1. Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son. Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano. Se toma un punto con coordenadas y=0 y z=0 La coordenada x faltante resulta Usando la fórmula de distancia D, por substitución

Ejemplo 9 bis 10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1. Encontrar la distancia D entre los planos paralelos 10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1. Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son. Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano. Se toma un punto con coordenadas x=0 y z=0 La coordenada y faltante resulta Usando la fórmula de distancia D, por substitución

Ejemplo 10 Encontrar la distancia D entre las líneas rectas oblicuas del ejemplo 3. Puede considerarse que las rectas están en planos paralelos. La distancia entre esos planos es la distancia entre las rectas.

Conclusiones