Saul Kripke (1940 - m.j. García-Encinas (2012-13) Semántica Filosófica (Consideraciones semánticas en torno a la lógica modal, 1963)

De qué hablaremos esta semana Texto complementario: García-Suárez (1989) “Lógica modal” en Garrido, M. (ed.) Lógica y Lenguaje Intro a la lógica modal: Algo de historia y paradojas Distintos sistemas La crítica de Quine Algo de semántica La fórmula Barcan

Algo de historia Proposiciones asertóricas; proposiciones cum modo; según el modo en que una proposición puede ser o no verdadera: posiblemente, necesariamente, imposiblemente  Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f.

Algo de historia Proposiciones asertóricas; proposiciones cum modo; según el modo en que una proposición puede ser o no verdadera: posiblemente, necesariamente, imposiblemente  Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f. Aristóteles: Mp y Mp son conjuntamente posibles Luego, la negación de Mp es Mp (no: Mp) Y la negación de Lp es Lp Igualmente: (1) Lp  Mp Y también: (2) Mp  Mp Luego: (3) Lp  Mp !!

Algo de historia Proposiciones asertóricas; proposiciones cum modo; según el modo en que una proposición puede ser o no verdadera: posiblemente, necesariamente, imposiblemente  Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f. Aristóteles: Mp y Mp son conjuntamente posibles Luego, la negación de Mp es Mp (no: Mp) Y la negación de Lp es Lp Igualmente: (1) Lp  Mp Y también: (2) Mp  Mp  Luego: (3) Lp  Mp !!

Algo de historia Proposiciones asertóricas; proposiciones cum modo; según el modo en que una proposición puede ser o no verdadera: posiblemente, necesariamente, imposiblemente  Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f. Aristóteles: Mp y Mp son conjuntamente posibles Luego, la negación de Mp es Mp (no: Mp) Y la negación de Lp es Lp Igualmente: (1) Lp  Mp Y también: (2) Mp  Mp  Qp  Qp Luego: (3) Lp  Mp !!

Algo de historia y “paradojas” (iii) Medievales Lp  ¬M¬p [xPx  ¬x¬Px] Mp  ¬L¬p [xPx  ¬x¬Px] Lp  p [xPx  Pa] p  Mp [Pa  xPx]

Algo de historia y “paradojas” (iii) Medievales Lp  ¬M¬p [xPx  ¬x¬Px] Mp  ¬L¬p [xPx  ¬x¬Px] Lp  p [xPx  Pa] p  Mp [Pa  xPx] (iv) “Paradojas” de la implicación material p q  ¬(p  ¬q) V V V V F F F V V q  (p  q) F F V ¬p  (p  q)

Algo de historia y “paradojas” (iii) Medievales Lp  ¬M¬p [xPx  ¬x¬Px] Mp  ¬L¬p [xPx  ¬x¬Px] Lp  p [xPx  Pa] p  Mp [Pa  xPx] (iv) “Paradojas” de la implicación material p q  ¬(p  ¬q)  L¬(p  ¬q) V V V V F F F V V q  (p  q) F F V ¬p  (p  q)

Algo de historia y “paradojas” (iii) Medievales Lp  ¬M¬p [xPx  ¬x¬Px] Mp  ¬L¬p [xPx  ¬x¬Px] Lp  p [xPx  Pa] p  Mp [Pa  xPx] (iv) “Paradojas” de la implicación material p q  ¬(p  ¬q)  L¬(p  ¬q) V V V V F F F V V q  (p  q) F F V ¬p  (p  q)  (L¬p  L(p  q))

Sistemas de lógica modal (S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”

Sistemas de lógica modal (S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación” (K) L(A  B) entonces (LA  LB)

Sistemas de lógica modal (S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación” (K) L(A  B) entonces (LA  LB) (D) LA  MA

Sistemas de lógica modal (S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación” (K) L(A  B) entonces (LA  LB) (D) LA  MA (T) LA  A

Sistemas de lógica modal (S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación” (K) L(A  B) entonces (LA  LB) (D) LA  MA (T) LA  A (S4) LA  LLA

Sistemas de lógica modal (S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación” (K) L(A  B) entonces (LA  LB) (D) LA  MA (T) LA  A (S4) LA  LLA (S5) MA  LMA

Sistemas de lógica modal (S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación” (K) L(A  B) entonces (LA  LB) (D) LA  MA (T) LA  A (S4) LA  LLA (S5) MA  LMA (B) A  LMA (No: LMA  A)

Sistemas de lógica modal (S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación” (K) L(A  B) entonces (LA  LB) (D) LA  MA (T) LA  A (S4) LA  LLA (S5) MA  LMA (B) A  LMA (No: LMA  A) A  ¬¬A (No: ¬¬A  A)

Sistemas de lógica modal (S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación” (K) L(A  B) entonces (LA  LB) (D) LA  MA (T) LA  A (Kripke lo llama M) (S4) LA  LLA (S5) MA  LMA (B) A  LMA (No válida: LMA  A) A  ¬¬A (No válida: ¬¬A  A) A  ¬M¬MA (No válida: ¬M¬MA  A) A  LMA (No válida: LMA  A)

La crítica de Quine • Los contextos modales (entre otros) son referencialmente opacos, i.e., no podemos sustituir sin afectar el valor de verdad de las fórmulas. • Los contextos modales no son extensionales, sino intensionales, i.e., el valor de verdad de una expresión compuesta (Mp) no queda totalmente determinado por el valor de verdad de su proposiciones (Mp compatible con p = V y con p = F; Lp puede ser F aunque p = V)

La crítica de Quine: Opacidad 9 = el número de planetas Necesariamente, 9 es mayor que 7 (C) Necesariamente, el número de planetas es mayor que 7 • Hesperus = la estrella del atardecer Es imposible que una estrella sea un planeta (C) Es imposible que Hesperus sea un planeta

Respuesta: No opacidad si las descripciones no son términos singulares y distinguimos alcances 9 = el número de planetas (i) x ((Px  y (Py  y = x)  x = 9) Necesariamente, 9 es mayor que 7 (ii) L (9 > 7) Necesariamente, el número de planetas es mayor que 7 (iii) x ((Px  y (Py  y = x)  L (x > 7) No: L x ((Px  y (Py  y = x)  (x > 7)

Respuesta de Quine: Esencialismo?!! (iii) x ((Px  y (Py  y = x)  L (x > 7) x L (x > 7)  (ii) L (9 > 7) Quine: esto es ininteligible! ¿Cuál es el número que es necesariamente mayor que 7? La respuesta a esta pregunta sólo puede depender del modo en que se describa 9, no del modo de ser de 9. Si no, hemos de aceptar que 9 mismo tiene propiedades necesarias (ser mayor que 7) y propiedades contingentes (ser el número de planetas). Por tanto, no podemos cuantificar desde fuera en contextos modales. En LM falla generalización existencial.

Si los contextos modales no son extensionales, tenemos problemas para hacer semántica • Los contextos modales no son extensionales, sino intensionales, i.e., el valor de verdad de una expresión compuesta (Mp) no queda totalmente determinado por el valor de verdad de su proposiciones (Mp compatible con p = V y con p = F; Lp puede ser F aunque p = V) Solución: semántica de mundos posibles

Semántica de mundos posibles Necesario = verdadero en todo mundo posible Posible = verdadero en algún mundo posible (Contingente = verdadero en el mundo actual y falso en algún mundo posible) Definimos un modelo:  K, R, m0,   K: conjunto de mundos posibles R: relación de acceso entre mundos m0: mundo actual : función que va asignando valores {V, F} a cada fórmula en cada mundo.

Semántica de mundos posibles Modelo:  K, R, m,   Así, por recursión: Si  (A, mi) = V y  (B, mi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en otro caso,  (A  B, mi) = F

Semántica de mundos posibles Modelo:  K, R, m,   Así, por recursión: Si  (A, mi) = V y  (B, mi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en otro caso,  (A  B, mi) = F Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario

Semántica de mundos posibles Modelo:  K, R, m,   Así, por recursión: Si  (A, mi) = V y  (B, mi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en otro caso,  (A  B, mi) = F Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario Si  (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces  (LA, mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F

Semántica de mundos posibles Modelo:  K, R, m,   Así, por recursión: Si  (A, mi) = V y  (B, mi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en otro caso,  (A  B, mi) = F Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario Si  (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces  (LA, mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F Si  (A, mj) = V en algún mj tal que miRmj, entonces  (MA, mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F

Semántica de mundos posibles Modelo:  K, R, m,   Así, por recursión: Si  (A, mi) = V y  (B, hi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en otro caso,  (A  B, mi) = F Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario Si  (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces  (LA, mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F Si  (A, mj) = V en algún mj tal que miRmj, entonces  (MA, mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F Validez: una fórmula es válida en un sistema modal cuando es verdadera en todo modelo de ese sistema.

Semántica de mundos posibles Modelo:  K, R, m,   Así, por recursión: Si  (A, mi) = V y  (B, hi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en otro caso,  (A  B, mi) = F Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario Si  (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces  (LA, mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F Si  (A, mj) = V en algún mj tal que miRmj, entonces  (MA, mi) = V; en otro caso,  (MA, mi) = F Validez: una fórmula es válida en un sistema modal cuando es verdadera en todo modelo de ese sistema. Si R es reflexiva, nos movemos en T (LA  A) Si R es reflexiva y transitiva, en S4 (LA  LLA) Si R es reflexiva, transitiva y simétrica, en S5 (MA  LMA)

Demostración de que Lp  LLp no es válida en T

Demostración de que Lp  LLp no es válida en T Buscamos un modelo en T en el que Lp sea V, y LLp sea F:    m0  m1  m2 p=1 p=1 Lp=1

Demostración de que Lp  LLp no es válida en T Buscamos un modelo en T en el que Lp sea V, y LLp sea F:    m0  m1  m2 p=1 p=1 p=0 Lp=1 Lp=0

Demostración de que Lp  LLp no es válida en T Buscamos un modelo en T en el que Lp sea V, y LLp sea F:    m0  m1  m2 p=1 p=1 p=0 Lp=1 Lp=0 LLp=0 Lp  LLp =0

La fórmula Barcan Su inversa es teorema en T: LxPx  xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es necesariamente P

La fórmula Barcan Su inversa es teorema en T: LxPx  xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es necesariamente P • FB es teorema en S5 xLPx  LxPx  (FB)

La fórmula Barcan Su inversa es teorema en T: LxPx  xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es necesariamente P • FB es teorema en S5 xLPx  LxPx  (FB) ¬LxPx  ¬xLPx

La fórmula Barcan Su inversa es teorema en T: LxPx  xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es necesariamente P • FB es teorema en S5 xLPx  LxPx  (FB) ¬LxPx  ¬xLPx M¬xPx  x¬LPx

La fórmula Barcan Su inversa es teorema en T: LxPx  xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es necesariamente P • FB es teorema en S5 xLPx  LxPx  (FB) ¬LxPx  ¬xLPx M¬xPx  x¬LPx Mx¬Px  xM¬Px

La fórmula Barcan Su inversa es teorema en T: LxPx  xLPx Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es necesariamente P • FB es teorema en S5 xLPx  LxPx  (FB) ¬LxPx  ¬xLPx M¬xPx  x¬LPx Mx¬Px  xM¬Px MxPx  xMPx  (FB) Si es posible que algo es P, entonces algo es posiblemente P

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen FB no es válida si el dominio crece xLPx  LxPx  (m0) = {a}    (m1) = {a, b} m0  m1 (Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (Pb, m1) = 0

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen FB no es válida si el dominio crece xLPx  LxPx  (m0) = {a}    (m1) = {a, b} m0  m1 (Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (Pb, m1) = 0 xLPx=1

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen FB no es válida si el dominio crece xLPx  LxPx  (m0) = {a}    (m1) = {a, b} m0  m1 (Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (Pb, m1) = 0 xLPx=1 xPx=0

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen FB no es válida si el dominio crece xLPx  LxPx  (m0) = {a}    (m1) = {a, b} m0  m1 (Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (Pb, m1) = 0 xLPx=1 xPx=0 LxPx=0

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen FB no es válida si el dominio crece xLPx  LxPx  (m0) = {a}    (m1) = {a, b} m0  m1 (Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pa, m1) = 1 Pb=0 (?) (Pb, m1) = 0 (?) xLPx=1 xPx=0 LxPx=0

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen Inversa no es válida si el dominio decrece LxPx  xLPx  (m0) = {a,b}    (m1) = {a} m0  m1 (Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pb, m0) = 1 Pb=1 (Pa, m1) = 1

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen Inversa no es válida si el dominio decrece LxPx  xLPx  (m0) = {a,b}    (m1) = {a} m0  m1 (Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pb, m0) = 1 Pb=1 (Pa, m1) = 1 xPx=1 xPx=1

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen Inversa no es válida si el dominio decrece LxPx  xLPx  (m0) = {a,b}    (m1) = {a} m0  m1 (Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pb, m0) = 1 Pb=1 (Pa, m1) = 1 xPx=1 xPx=1 LxPx=1

Propuesta de Kripke: permitimos que los dominios de los mundos varíen Inversa no es válida si el dominio decrece LxPx  xLPx  (m0) = {a,b}    (m1) = {a} m0  m1 (Pa, m0) = 1 Pa=1 Pa=1 (Pb, m0) = 1 Pb=1 (Pa, m1) = 1 xPx=1 xPx=1 LxPx=1 xLPx=0