Teoría de los Significados Sistémicos ENFOQUE ONTOLÓGICO-SEMIÓTICO DE LA COGNICIÓN E INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA Teoría de los Significados Sistémicos Juan D. GODINO Juan D. Godino

ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO de la Cognición e Instrucción Matemática Juan D. Godino

TSS: Nociones y fuentes Campos de problemas Prácticas matemáticas Sistemas de prácticas Objetos emergentes Significados sistémicos Dualidad personal e institucional Godino y Batanero (1994) Godino y Batanero (1998) Entidades primarias (elementos del significado) Godino (2002) Tipos de significados sistémicos   Godino (2003) Configuraciones epistémicas y cognitivas Significado global (holo-significado) Godino, Contreras y Font (2004) Wilhelmi, Lacasta y Godino (2004) Juan D. Godino

ANTECEDENTES PRÓXIMOS Teorías pragmáticas y realistas del significado (Ullmann, Kutchera) Teoría de los campos conceptuales (Vergnaud) Teoría de Situaciones didácticas (Brousseau) Teoría antropológica (Chevallard) Interaccionismo simbólico (Cob, Bauersfeld) HACIA UN MODELO PRAGMÁTICO-REALISTA DE LA COGNICIÓN MATEMÁTICA Juan D. Godino

Un ejemplo: Estudio de la Mediana Entre las medidas de centralización, la media aritmética es generalmente la que mejor representa a un conjunto de datos, ya que en el cálculo de la media intervienen todos los datos.  Sin embargo, hay casos en que la mediana representa mejor a un conjunto de datos,  como ocurre en el siguiente ejemplo: En una oficina, los sueldos de las cinco personas que trabajan en ella son 60.000 pts, 70.000 pts, 80.000 pts, 90.000 pts y 380.000 pts ¿Qué cantidad puede representar mejor estos cinco sueldos?    Calculemos la media: X = (60.000 + 70.000 + 80.000 + 90.000 + 380.000) : 5 = 136.000 pts   Es evidente que esta media no representa bien a los sueldos de los trabajadores de la oficina, ya que los sueldos de cada una de las cinco personas están bastante alejados de las 136.000 pts. Esta falta de representatividad de la media es debida a la existencia de un sueldo muy elevado (380.000 pts) comparado con los demás, que influye en la media.    En este caso, la mediana resulta ser un número más representativo que la media aritmética. La mediana de un conjunto ordenado de datos de una variable es el valor que deja igual número de datos por encima de él que por debajo de él.    Juan D. Godino

3. OBJETOS MATEMÁTICOS Y SIGNIFICADOS Elaboramos un nuevo constructo teórico, de naturaleza pragmática, que proponemos como herramienta clave del análisis cognitivo en educación matemática “Sistema de prácticas operativas y discursivas de una persona ante un cierto tipo de situaciones-problemas". De estos "sistemas de prácticas" postulamos la emergencia de objetos personales e institucionales, objetivados por un léxico común. Juan D. Godino

ACTIVIDAD MATEMÁTICA Papel esencial de la actividad matemática, las acciones de las personas ante cierto tipo de tareas problemáticas, en la generación de las entidades matemáticas, en su doble versión de entidades culturales y mentales. El carácter inobservables de estas últimas nos lleva a proponer asignar como significado de un término o expresión matemática el correspondiente sistema de prácticas. Los objetos matemáticos son fruto de la construcción humana, cambian a lo largo del tiempo y pueden ser dotados de significados diversos por personas e instituciones diferentes. Juan D. Godino

PROBLEMAS MATEMÁTICOS Partimos de la noción de situación-problema como primitiva y de la idea que la variación sistemática de las variables que intervienen en las situaciones-problema da lugar a diferentes tipos y campos de problemas. La génesis del conocimiento personal se produce como consecuencia de la interacción del sujeto con tipos de problemas, mediatizada por los contextos institucionales en que tiene lugar dicha actividad. Juan D. Godino

SISTEMAS DE PRÁCTICAS MATEMÁTICAS PRÁCTICA MATEMÁTICA: Toda actuación o expresión (verbal, gráfica, etc.) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución obtenida, validarla o generalizarla a otros contextos y problemas. PRÁCTICAS SIGNIFICATIVAS: Desempeña una función para la consecución del objetivo en los procesos de resolución de un problema, o bien para comunicar a otro la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas SISTEMAS DE PRÁCTICAS operativas y discursivas puestas de manifiesto por las personas ante tipos de situaciones problemáticas. Juan D. Godino

NOCIÓN DE INSTITUCIÓN Una institución (I) está constituida por las personas involucradas en una misma clase de situaciones problemáticas. Puesto que se comparte la misma problemática, las prácticas sociales son compartidas, y suelen tener rasgos particulares, generalmente condicionadas por los instrumentos disponibles en la misma, sus reglas y modos de funcionamiento. Juan D. Godino

OBJETOS EMERGENTES Desde un punto de vista institucional el "objeto emergente" es una metáfora cómoda para hablar de la globalidad y estructura de los sistemas de prácticas que permiten resolver ciertos tipos de problemas. (El todo es algo más que la suma de las partes). Se materializa en el léxico institucional y en definiciones generales que permiten el reconocimiento de las situaciones de uso de tales prácticas. En la mente de los sujetos se construyen esquemas cognitivos (objetos personales) responsables de que los sujetos sean capaces de reconocer las nuevas situaciones como pertenecientes a un cierto tipo, y aplicarles los procedimientos pertinentes para resolverlas. Juan D. Godino

OBJETO INSTITUCIONAL: Documentos curriculares, libros de texto, explicaciones de un profesor ante su clase (tienen connotaciones normativas o convencionales, o sea, los objetos son usados como referencia en el proceso de enseñanza y aprendizaje). Las interacciones entre los miembros de un grupo de alumnos pueden dar lugar a acuerdos en el seno del grupo, produciendo “maneras de actuar y hablar” compartidas, que pueden recibir un cierto grado de regulación interna al grupo. (Microinstitución local). OBJETO PERSONAL: Manifestación de un sujeto individual, como la respuesta a una prueba de evaluación, la realización de una tarea escolar por un estudiante (son portadores, al menos potencialmente, de rasgos idiosincrásicos de sus conocimientos). Juan D. Godino

SIGNIFICADOS SISTÉMICOS DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS Los sistemas de prácticas COMO RESPUESTA DE LA CUESTIÓN “¿qué es el objeto matemático?” para una persona o para una institución, o, “¿qué significa ...?” Relatividad de los significados respecto de las personas, las instituciones, los contextos y juegos de lenguaje. La Teoría de las Funciones Semióticas introduce otros significados (elementales) Juan D. Godino

PRIMERAS CONSECUENCIAS El centro de atención de la investigación didáctica no debería ser las mentes de los estudiantes, sino los contextos culturales e institucionales en que tiene lugar la enseñanza (relaciones entre significados institucionales y personales). La naturaleza sistémica del constructo que hemos llamado significado de un objeto nos permite orientar el proceso de selección de las situaciones de enseñanza y evaluación, usando la analogía del muestreo en estadística: Los significados institucionales juegan el papel de universo de referencia del cual deben seleccionarse muestras representativas para la enseñanza y evaluación. Juan D. Godino

Tipos de significados institucionales y personales Global/ Referencial Global Pretendido Declarado Implementado Logrado Evaluado Juan D. Godino

SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES PRETENDIDO: Sistema de prácticas que se proyectan para un proceso de estudio particular REFERENCIAL: Sistema de prácticas más amplio de donde se selecciona el significado pretendido IMPLEMENTADO: Sistema de prácticas que efectivamente se implementa durante la realización de la instrucción proyectada. EVALUADO: Sistema de prácticas seleccionadas para evaluar los aprendizajes. Juan D. Godino

SIGNIFICADOS PERSONALES GLOBAL: Totalidad del sistema de prácticas personales que es capaz de manifestar potencialmente el alumno. DECLARADO: Prácticas efectivamente expresadas a propósito de las pruebas de evaluación propuestas, incluyendo tanto las correctas como las incorrectas desde el punto de vista institucional. LOGRADO: Prácticas manifestadas que son conformes con la pauta institucional establecida. Juan D. Godino

4. COMPONENTES DE LOS SIGNIFICADOS Situaciones-problemas /tareas matemáticas Lenguaje matemático Acciones Conceptos /reglas Propiedades Argumentos (Godino y Recio, 1998; Godino y Batanero, 1998; Godino, 2002) Juan D. Godino

ELEMENTOS DE SIGNIFICADO: TIPOS DE OBJETOS EMERGENTES La noción de “sistema de prácticas” es útil para ciertos análisis de tipo macrodidáctico, particularmente cuando se trata de comparar la forma particular que adoptan los conocimientos matemáticos en distintos marcos institucionales, contextos de uso o juegos de lenguaje Un análisis más fino de la actividad matemática ha llevado a introducir en diversos trabajos los “elementos del significado”, concretados en listados de objetos clasificados según los seis tipos de entidades primarias: situaciones, acciones, lenguaje, conceptos, propiedades y argumentos. Es una tipología de objetos emergentes (e intervinientes) de los sistemas de prácticas. Juan D. Godino

Situaciones-problemas /tareas matemáticas Las situaciones-problemas matemáticos promueven y contextualizan la actividad matemática. Se interpretan en un sentido amplio, incluyendo tanto problemas simples como situaciones complejas y tanto problemas puramente matemáticos como extramatemáticos. Los problemas "no vienen solos", sino que se agrupan en tipos, clases o campos de problemas, de modo que el paso de un tipo puntual a otro más amplio es el determinante del progreso o avance del conocimiento matemático, tanto individual como institucional. Juan D. Godino

Lenguaje matemático Para resolver los problemas matemáticos, para generalizar su solución o para describirlos a otra persona necesitamos usar elementos del lenguaje, tales como términos, expresiones, notaciones, gráficos, etc. Valencia representacional e instrumental del lenguaje: Juan D. Godino

Acciones/ técnicas Para resolver los problemas propuestos se pueden aplicar diversas operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo, procedimientos y estrategias que llegan a automatizarse, se hacen específicos del tipo de problema y se convierten en objeto de enseñanza. Cada una de las técnicas aporta elementos diferenciados en el significado del objeto, que también dependerá de los instrumentos disponibles en la resolución. Juan D. Godino

Conceptos /reglas/definiciones Los conceptos y propiedades son interpretados aquí como propone Wittgenstein, como "reglas gramaticales sobre el uso de símbolos y expresiones" para describir las situaciones y las acciones que realizamos ante dichas situaciones (Baker y Hacker, 1985, p. 285). Tales reglas cambian según la fenomenología, los juegos de lenguaje, las formas de vida, las instituciones. Otro uso habitual de 'concepto' es como sistema heterogéneo de objetos (situaciones, invariantes operatorios, representaciones) que se puede sustituir con ventaja por la noción de "sistema de prácticas". ¿HAY UN ÚNICO CONCEPTO DE “MEDIANA”? ¿INTERESA DEJAR DE HABLAR DE CONCEPTOS? Juan D. Godino

Propiedades Una vez que un objeto matemático se define y entra a formar parte de las herramientas matemáticas disponibles para la resolución de problemas, se convierte en objeto de estudio en sí mismo, para relacionarlo con otros objetos Las propiedades o atributos se refieren a condiciones de realización de las acciones, a características específicas de las situaciones y relaciones entre objetos. Cada propiedad de un objeto matemático lo relaciona con otros diferentes y contribuye al crecimiento del significado del objeto en cuestión. Juan D. Godino

Argumentos Las acciones y objetos se ligan entre sí mediante argumentos o razonamientos que se usan para comprobar las soluciones de los problemas, explicar y justificar la solución, justificaciones que pueden ser deductivas, o de otro tipo (Recio y Godino, 2001). La forma más característica de validación en matemáticas es de tipo deductivo y esta es la más extendida en los libros de nivel universitario. Las argumentaciones se completan o sustituyen, dependiendo del nivel educativo, por la búsqueda de contraejemplos, generalización, simulaciones con ordenador, demostraciones informales, etc. Juan D. Godino

Objetos matemáticos Juan D. Godino

DESARROLLOS RECIENTES DE LA TSS Configuracines epistémicas globales y parciales. Ejemplos: Igualdad de números reales Función Número PI Integral ... Juan D. Godino

CONFIGURACIONES EPISTÉMICAS Y COGNITIVAS Los objetos estarán relacionados entre sí formando “configuraciones epistémicas” (si se refieren a significados institucionales) o “configuraciones cognitivas” (significados personales), definidas como las redes de objetos emergentes (e intervinientes) de los sistemas de prácticas y las relaciones que se establecen entre los mismos. Juan D. Godino

Configuraciones epistémicas de la noción de función Juan D. Godino

Configuraciones epistémicas de número PI:La cuadratura del círculo en Egipto Juan D. Godino

Configuraciones epistémicas de la integral definida PRIMITIVA   Relación inversa entre integración y derivación Desarrollo binomial Fluentes, fluxiones notación Teorema fundamental del cálculo Deductivo INFINITA Situaciones expresadas con tipos de funciones algebraicas y transcendentes Integración numérica Indivisibles Infinitésimo Serie; Triángulo característico Teorema de Cavallieri Exhausción sin doble reducción INTUITIVA Estudio del cambio y del movimiento Tendencia a procesos numéricos Geométrico y aritmético Tasa de cambio Ley de Bradwardine y de Swineshead Argumentaciones intuitivas para mejora del método de la exhausción FINITA Cuadratura Cubatura Método de exhausción Geométrico Ordinario Área, volumen Medida Axioma de Arquímedes; Fórmulas áreas y volúmenes Doble reducción al absurdo SITUACIONES ACCIONES LENGUAJE CONCEPTOS PROPIEDADES ARGUMENTOS Juan D. Godino

EL PROBLEMA DEL RELATIVISMO El relativismo socio-epistémico y pragmático contrasta con la visión tradicional de los objetos matemáticos como entidades universales y atemporales. La introducción de la noción de “significado global, que abarcaría el sistema de prácticas operativas y discursivas asociadas al objeto en los diversos contextos de uso (o una muestra representativa de los mismos), es un intento de resolver el problema del relativismo. Desde un punto de vista formalista es posible identificar una misma estructura en la variedad del sistema de prácticas operatorias y discursivas puestas en juego en los diversos contextos de uso del objeto. Esa estructura formal es "el objeto matemático" - universal y atemporal- con el que trabaja el matemático profesional y al que se refiere Wittgenstein, según nuestra interpretación, cuando define la matemática como la "gramática del lenguaje que usamos para describir determinados aspectos de nuestros mundos". Juan D. Godino

Configuraciones epistémicas asociadas a la noción de igualdad de números reales Juan D. Godino

SUBCONFIGURACIONES Y SENTIDOS Cada contexto de uso da lugar a una red de objetos y relaciones que designamos como configuración epistémica local. En cierto modo, cada configuración epistémica local "modeliza" un aspecto parcial del significado de la noción correspondiente: la configuración es el sistema modelizador y la noción el objeto modelizado. La relación entre una configuración parcial y la configuración global no es simplemente de composición (de parte a todo). En cierto modo cada subconfiguración incorpora aspectos del todo, y desempeña el papel de modelo del todo. Considerar como "modelos" a las configuraciones parciales puede ayudar a tomar conciencia de la metonimia que se pone en juego cuando se confunde el significado de un objeto con alguno de sus sentidos o significados parciales. Juan D. Godino

5. COMPRENSIÓN Y COMPETENCIA MATEMÁTICA La comprensión en Didáctica de las Matemáticas Elementos para un modelo de la comprensión Dimensión personal e institucional Carácter sistémico y dinámico Comprensión y competencia Evaluación de la comprensión (Godino, 1996; Godino, 2000; Godino, 2002; Godino 2003) Juan D. Godino

EL COMPLEJO: Conocimiento, Comprensión, Competencia Los términos y expresiones matemáticas denotan “entidades abstractas”, cuya naturaleza y origen tenemos que explicitar para poder elaborar una teoría útil y efectiva sobre qué entendemos por saber/conocer/ comprender tales objetos. LA COMPETENCIA para resolver problemas incluye (en las orientaciones curriculares): saber-hacer, saber-qué, saber-por qué, saber-ser. Incluye conocer y comprender, además de ser capaz de hacer. Competencias operatorias, discursivas, afectivas. Juan D. Godino

PROBLEMÁTICA DE LA COMPRENSIÓN/CONOCMIENTO ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? ¿Qué formas o modos posibles de comprensión existen para cada objeto? ¿Qué aspectos o componentes de los objetos matemáticos es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un momento y circunstancias dadas? ¿Cómo se desarrollan estos componentes? Juan D. Godino

ENFOQUE PRAGMÁTICO DE LA COMPRENSIÓN "¡No pienses ni una sola vez en la comprensión como 'proceso mental'! -Pues ésa es la manera de hablar que te confunde... En el sentido en el que hay procesos (incluso procesos mentales) característicos de la comprensión, la comprensión no es un proceso mental." (Wittgenstein, 1953, Investigaciones filosóficas, p. 155). SABER, CONOCER, COMPRENDER se interpretan en términos de COMPETENCIA para resolver problemas y acoplamiento progresivo entre significados personales e institucionales. Juan D. Godino

Dimensión personal e institucional de la comprensión La definición de comprensión de Sierpinska como la 'experiencia mental de un sujeto por medio de la cual relaciona un objeto (signo) con otro objeto (significado)' enfatiza uno de los sentidos en que es usado el término 'comprensión‘. Pero en los procesos de evaluación del aprendizaje el término 'comprensión' debe tener en cuenta la institución escolar, en la que el significado de los objetos se fija culturalmente. La noción de comprensión personal de un objeto que se deriva de nuestro modelo teórico es la de "construcción o apropiación progresiva del significado institucional de dicho objeto". Juan D. Godino

CARÁCTER SISTÉMICO Y DINÁMICO Puesto que concebimos el "significado sistémico de un objeto" como una entidad compuesta de elementos y relativa a los contextos institucionales, la comprensión de un concepto por un sujeto, en un momento y circunstancias dadas, implicará la apropiación de los distintos elementos que componen los significados institucionales correspondientes. El reconocimiento de la complejidad sistémica del significado del objeto implica, además, que su apropiación por el sujeto será un proceso dinámico, progresivo, y no lineal, como consecuencia de los distintos dominios de experiencia y contextos institucionales en que participa. Juan D. Godino

ACCIÓN HUMANA E INTENCIONALIDAD El enfoque ontosemiótico de la cognición parte de la noción de práctica significativa, definida como la actuación que la persona realiza en su intento de resolver una clase de situaciones-problemas y a la que reconoce o atribuye una finalidad (un para qué). El conocimiento, la comprensión de los objetos emergentes de los sistemas de prácticas implican COMPETENCIA del sujeto para resolver los problemas correspondientes. Juan D. Godino

EVALUACIÓN DEL CONOCIMIENTO, COMPRENSIÓN Y COMPETENCIA Una de las finalidades de la TSS es proporcionar criterios para la elaboración de una teoría de la evaluación del mismo. La evaluación se interpreta como la determinación del significado de un objeto OI para un sujeto p desde el punto de vista de la institución I: Subsistema de prácticas personales asociadas a un campo de problemas que son consideradas en I como adecuadas y características para resolver dichos problemas. Juan D. Godino

INTERSECCIÓN DE PRÁCTICAS Para un mismo campo de problemas C, que en una institución I ha dado lugar a un objeto OI con significado S(OI), en una persona puede dar lugar a un objeto Op con significado personal S(Op). La intersección de estos dos sistemas de prácticas es lo que desde el punto de vista de la institución se considera prácticas correctas, esto es, lo que la persona "conoce" o "comprende" del objeto O desde el punto de vista de I. El resto de prácticas personales serían consideradas "erróneas", desde el punto de vista de la institución. Juan D. Godino

APROPIACIÓN DE SIGNIFICADOS En una situación ideal, y en una institución dada, diremos que un sujeto “conoce”, "comprende" el significado del objeto OI -o que se “ha apropiado del significado" de un concepto, - si es capaz de reconocer los problemas, procedimientos, argumentaciones, propiedades y representaciones características, relacionarlo con los restantes objetos matemáticos en la variedad de situaciones planteadas por la institución correspondiente. También se diré que el sujeto es COMPETENTE para resolver el tipo de problemas correspondiente. Juan D. Godino

EVALUACIÓN Y SIGNIFICADOS DE REFERENCIA La “comprensión”, “el conocimiento”, “la competencia” alcanzada por un sujeto en un momento dado difícilmente será total o nula, sino que abarcará aspectos parciales de los diversos componentes y niveles de dominio posibles. Debido a la diversidad de posibles tareas de evaluación para cada objeto matemático, será fundamental el análisis de los significados implementados/pretendidos en los procesos de estudio correspondientes. Este análisis proporcionará criterios en la selección de los ítems para la construcción de los instrumentos de evaluación. Juan D. Godino