Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Índice ¿Qué es el Cálculo? El problema del área Introducción a los límites Límites que no existen Definición formal de límite Cálculo analítico de límites Continuidad en un punto Definición de continuidad Discontinuidades Límites laterales Continuidad en un intervalo Propiedades de la continuidad Teorema del valor intermedio Límites infinitos Asíntotas verticales Propiedades de los límites infinitos Concepto de límite infinito Definición de límites en el infinito Propiedades de los límites en el infinito Formas indeterminadas 0/0 , /  Formas indeterminadas 0.  , -  Formas indeterminadas 1  , 0 , 00 Asíntotas horizontales Asíntotas oblicuas Ejemplo Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 2. Límites 1

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva ¿Qué es el Cálculo? El Cálculo es la matemática de los cambios, velocidades y aceleraciones. Se estudian las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,... y una gran variedad de conceptos para crear modelos para las situaciones de la vida real. tasa de variación media t=a t=b tasa de variación instantánea en t=c Describe un objeto que se mueve con velocidad constante Describe la velocidad de un objeto que se mueve aceleradamente Describe la pendiente de una recta Describe la pendiente de una curva Describe el área de un réctángulo Describe el área bajo una curva Dx Dy dx dy Matemáticas previas al Cálculo Estáticas Cálculo Dinámico Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 2

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva El problema del área Consideremos la región limitada por la gráfica de la función y=f(x) , el eje x y las rectas verticales x=a y x=b Y=f(x) Se puede estimar su área usando varios rectángulos Y=f(x) x=a x=b Al hacer crecer el nºde rectángulos la aproximación va mejorando cada vez más Y=f(x) El objetivo es determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos cuando su número crece sin tope Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 3

Introducción a los límites Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función - 3 - (1,3) 2 Con los procedimientos usuales para x 1 obtenemos -2 -1 1 ¿Qué sucede en las proximidades de x=1? x tiende a 1 por la izquierda f(x) tiende a 3 x tiende a 1 por la derecha f(x) tiende3 x 0,75 09 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,25 f(x) 2,313 2,710 2,970 2,997 ? 3,003 3,030 3,310 3,813 A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1, y como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3. Esto se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 4

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Límites que no existen Comportamientos típicos asociados a la no existencia de un límite - f(x) tiende a números diferentes según x tienda a c por la derecha o por la izquierda f(x)=1 f(x)=-1 - f(x) crece o decrece sin cota cuando x tiende a c. f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c. x 1 -1 El límite no existe Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 5

Definición formal de límite A partir de los ejemplos Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x tiende a c por cualquiera de sus dos lados, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es L, y escribimos Formalmente Sean f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un número real. La afirmación significa que para todo e  0 existe un d  0 tal que si Si el límite de una función existe, entonces es único Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 6

Cálculo analítico de límites Límites básicos Propiedades de los límites Límites de funciones polinómicas y racionales Límite de una función radical Límite de una función compuesta Límites de funciones trigonométricas Técnicas de cancelación y racionalización Regla del Sandwich Límites trigonométricos especiales Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 7

Continuidad en un punto Una función es continua en x=c si no hay interrupción de la gráfica de f en c No hay “saltos”, “agujeros” ni “aberturas” Condiciones para que el gráfico de f no sea continuo en x=c f (c) no está definida en x=c No existe límite de f (x) en x=c El límite de f (x) en x=c existe, pero no es igual a f (c) a c b Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 8

Definición de Continuidad Decimos que una función f es continua en x=c si se satisfacen las tres condiciones siguientes f (c) está definida. existe Continuidad en un punto Decimos que una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en toda la recta real (- ,  ) se llama continua en todas partes Continuidad en un intervalo abierto Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 9

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Discontinuidades Sea I un intervalo abierto que continene un número real c. Si una función f está definida en I (salvo, posiblemente, en c) y no es continua en c se dice que f tiene una discontinuidad en c - f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f (c) discontinuidades evitables - 2 1 1 Discontinuidad evitable en x=1 discontinuidades inevitables f no se puede redefinir para evitar la discontinuidad 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 Discontinuidad inevitable en x=1 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 10

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Límites laterales Límite por la izquierda x x tiende a c para valores inferiores a c Límite por la derecha x x tiende a c para valores superiores a c c Ejemplo 1 2 3 -3 -2 -1 Función parte entera Existencia de límite Sean f una función y sean L y c números reales. El límite de f(x) cuando x tiende a c es L si y solo si Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 11

Continuidad en un intervalo Decimos que una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b) y Continuidad en un intervalo cerrado La función es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b [ a ] b Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 12

Propiedades de la continuidad Las funciones de los tipos siguientes son continuas en sus dominios Funciones polinómicas: Funciones racionales: Funciones radicales: Funciones trigonométricas: Si b es un número real y f , g son continuas en x=c, entonces las siguientes funciones también son continuas Múltiplo escalar: bf Producto: fg Suma y diferencia: Cociente: Muchas funciones elementales son continuas en sus dominios Si g es continua en x=c y f es continua en g(c), la función compuesta (f o g)(x)=f(g(x)) es continua en c Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 13

Teorema del valor intermedio f(a) - k - f(b) - Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en tal que f(c)=k [ ] a c1 c2 c3 b Ejemplo Tiene un cero en el invervalo [0,1] Útil para localizar ceros de una función continua en un intervalo cerrado Si f es continua en [a,b] y f(a) y f(b) difieren de signo, entonces existe al menos un cero de f en [a,b] (Teorema de Bolzano) f es continua en [0,1] (c,0) (1,2) 1 (0,-1) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 14

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Límites infinitos f decrece sin cota cuando x tiende a 2 por la izquierda f crece sin cota cuando x tiende a 2 por la derecha Ejemplo 2 Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c, salvo, posiblemente, en el propio c. La expresión significa que para todo M >0 existe un d>0 tal que f(x) > M siempre que 0 < l x-c l < d. M c d d x y Análogamente la expresión existe un d>0 tal que f(x) < N siempre que 0 < l x-c l < d. significa que para todo N < 0 Para definir el límite infinito por la izquierda, basta sustituir 0 < l x-c l < d por c-d < x < c. Para definir el límite infinito por la derecha, basta sustituir 0 < l x-c l < d por c < x < c +d. Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 15

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Asíntotas verticales Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x =c es una asíntota vertical de la gráfica de f Observación Si una función f posee una asíntota vertical en x =c , entonces f no es contínua en c Ejemplos Asíntota en x=-1 -1 Asíntotas en x=-1 , x=1 -1 1 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 16

Propiedades de los límites infinitos Sean c y L números reales, y sean f y g funciones tales que Suma o diferencia Producto Cociente Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límite cuando x tiende a c es - Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 17

Concepto de límite en el infinito Supongamos que necesitamos dibujar la gráfica de la función - 3 - 2 Gráficamente los valores de f(x) parecen aproximarse a 3 cuando x crece sin tope -2 -1 1 x decrece sin tope f(x) se acerca a 3 x crece sin tope f(x) se acerca 3 x - -100 -10 -1 1 10 100  f(x) 3 2,999 2,97 1,5 3 Límite en - Límite en + Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 18

Definición de Límites en el infinito Sea L un número real. y La expresión e significa que para todo e >0 existe un M >0 tal que l f(x) - L l < e siempre que x >M L x M La expresión significa que para todo e >0 existe un N < 0 tal que l f(x) - L l < e siempre que x < N Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 19

Propiedades de los límites en el infinito Si existen ambos Suma Producto Propiedades análogas son válidas para límites en - Cociente Si r es un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces Además, si xr está definida para x< 0 , entonces Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 20

Formas indeterminadas , Sea p un número real, + o -  es del tipo no es el resultado de ningún límite Los límites de este tipo pueden tener resultados diversos Es un tipo de indeterminación Si f y g son polinomios, descomponer en factores y simplicar puede ayudar a resolver la indeterminación Para resolver la indeterminación se puede intentar dividir todos los términos por x elevado a la potencia más alta Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 21

Formas indeterminadas , Es fácil transformar esta indeterminación en otra del tipo ya que cuando Se puede resolver multiplicando y dividiendo por la conjugada También se puede transformar en Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 22

Formas indeterminadas Para resolver la indeterminación se hace uso del número e Para resolver la indeterminación usualmente el límite se transforma (tomando logaritmos) en otro del tipo , y éste, a su vez, en otro del tipo También es habitual el uso de la Regla de L´Hôpital (Tema 3) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 23

Asíntotas horizontales La gráfica de f(x) tiende hacia la recta y=L cuando x crece sin cota La recta y = L es asíntota horizontal de la gráfica de f si y L o bien x asíntota horizontal por la derecha por la izquierda Ejemplos Asíntota vertical en x=-1 -1 y=2 asíntota horizontal 2 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 24

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Asíntotas oblícuas La función f(x) se va aproximando a la asíntota oblícua cuando x tiende a - o a + Ejemplo Asíntota oblícua y = x 2 2 Asíntota vertical en x=2 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 25

Ejemplo de aplicación de los límites Supongamos que f(t) mide el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)=1 corresponde al nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t =0, se vierten resíduos orgánicos en el estanque y, con la oxidación de ese material, el nivel de oxígeno pasa a ser ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno hay en el estanque 1 semana después? ¿Y 2 semanas? ¿Y 10 semanas? ¿Y una vez transcurrido “suficiente” tiempo? l l l l 2 4 6 8 1 - 0,75 - 0,5 - 0,25 - El nivel de oxígeno en el estanque tiende al nivel normal 1 cuando t tiende a Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 26

Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Bibliografía Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill Ejercicios y problemas Problemas de Matemáticas para ingeniería técnica agrícola y veterinaria Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000 Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 2. Límites Tema 1. Preliminares de Cálculo 27