M. en C. José Andrés Vázquez Flores MÉTODOS NUMÉRICOS Interpolación M. en C. José Andrés Vázquez Flores

Interpolación y polinomio de Lagrange Considerar el problema de determinar el polinomio de grado 1 que pase por los puntos distintos (x0, y0), (x1, y1). Este problema es el mismo que el de aproximar una función f, para la cual f(x0) = y0 y f(x1) = y1, por medio de un polinomio de grado 1, interpolando con los valores de f en los puntos dados. Consideremos el polinomio: P(x)=(x-x1)/(x0-x1)y0 + (x-x0)/(x1-x0)y1 Cuando x=x0 ; P(x0)=1• y0 + 0 • y1 = y0 = f(x0) Cuando x=x1 ; P(x1)=0• y0 + 1 • y1 = y1 = f(x1) Por lo anterior vemos que P tiene las propiedades requeridas. Ln,k(xi) = 0 cuando i  k y Ln,k(xk) = 1

Interpolación y polinomio de Lagrange Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que Ln,k(xi) = 0 cuando i  k y Ln,k(xk) = 1 Se requiere entonces que el numerador contenga (x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn) El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.

N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange Teorema Si x0, x1, x2, ... xn, son n+1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un polinomio de grado a lo más n, con la propiedad de que f(xk) = P(xk) para cada k = 0, 1, 2, ...n Este polinomio está dado por donde

Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange Usaremos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4, para obtener un polinomio de grado 2 para 1/x. f(x0) = 0.5, f(x1)= 0.4 y f(x2) = 0.25. Los polinomios de Lagrange son: P(x) = 0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+ 0.25*((x + 4.5)x+5)/3 P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 = 0.05x2 – 0.425x + 1.15 f(3) = P(3) = 0.325

Aproximación a 1/x con interpolantes de Lagrange P(x) = (0.05x – 0.425)x + 1.15 f(3) = P(3) = 0.325

El error en la interpolación de Lagrange El error en la interpolación de Lagrange puede calcularse con

Diferencias divididas Hasta ahora se ha utilizado interpolación iterada para generar aproximaciones poli nómicas cada vez de mayor grado en un punto específico. Los métodos de diferencias divididas sirven para generar sucesivamente los polinomios interpol antes. Supongamos que Pn es el polinomio de Lagrange de grado a lo más n que coincide con la función f en los números distintos x0, x1, x2 ,..., xn. Las diferencias divididas de f respecto a los puntos x0, x1, x2 ,..., xn se pueden derivar demostrando que Pn tiene la representación (*) Pn(x) = a0+a1(x – x0)+a2(x-x0)(x – x1)+...+an(x – x0)(x – x1)... (x – xn-1) con constantes apropiadas a0, a1, ,...,an . Para determinar la primera de las constantes a0, notar que si Pn(x) puede escribirse en la forma de la ecuación (*) entonces evaluando si Pn en x0 nos da el término constante a0; esto es: a0 = Pn(x) = f(x0).

Diferencias divididas De forma similar cuando evaluamos Pn en x1 nos da a1. Pn(x1) = a0+a1(x1 – x0)+a2(x1-x0)(x1 – x1)+...+an(x1 – x0)(x1 – x1)... (x1 – xn-1) f(x0)+a1(x1 – x0)= Pn(x1) = f(x1) f(x0)+a1(x1 – x0) = f(x1) (Ϫ) a1= ( f(x1) - f(x0) ) / (x1 – x0) Es aquí donde introducimos la notación de diferencias divididas . La diferencia dividida cero de la función f con respecto a xi, se denota por f[xi] y es simplemente la evaluación de f en xi f[xi] = f(xi) El lado derecho de la expresión (Ϫ) se conoce como la primera diferencia dividida de f(x) respecto a los puntos x0 y x1 y se denota generalmente como f[x0,x1] = ( f(x1) - f(x0) ) / (x1 – x0)

Diferencias divididas Las diferencias divididas restantes se definen inductivamente; la primera diferencia dividida de f con respecto a xi y x1+1 , se denota por f [xi,xi+1] y esta definida como: f [xi,xi+1] = (f [xi+1] – f [xi]) / (xi+1 -xi ) La segunda diferencia dividida de f [xi,xi+1,xi+2] se define como: f [xi,xi+1,xi+2] = (f [xi+1,xi+2] – f [xi,xi+1]) / (xi+2 - xi) De forma análoga después de determinar las (k-1) diferencias divididas f [xi,xi+1,xi+2,…,xi+k-1] y f [xi,xi+1,xi+2,…,xi+k] La k-ésima diferencia dividida de f relativa a xi,xi+1,xi+2,…,xi+k-1,xi+k esta dada por: f[xi,xi+1,xi+2,…,xi+k-1,xi+k] =(f[xi+1,xi+2,…,xi+k-1,xi+k ] – f[xi,xi+1,xi+2,…,xi+k-1] )/ (xi+k - xi)

Diferencias divididas Con esta notación la ecuación (Ϫ) puede ser expresada como : a1 = f [x0,x1] y el polinomio interpolante en la ecuación (*) es: Pn(x) = f [x0] + f [x0,x1](x – x0)+a2(x-x0)(x – x1)+...+an(x – x0)(x – x1)... (x – xn-1) Las otras constantes a2,a3,…,an, en Pn se pueden obtener consecutivamente de una manera similar a la evaluación de a0 y a1. Como se puede ver después de evaluar a0 y a1 las constantes requeridas son: ak = f [x0,x1,x2,…,xk] Para cada k= 0,1,…, n; así Pn puede reescribirse como:

Diferencias divididas Pn(x) = f [x0] + f [x0,x1](x – x0) +f [x0,x1,x2](x-x0)(x – x1)+... +f [x0,x1,…,xn](x – x0)(x – x1)... (x – xn-1) O como :