Estadística Administrativa I Período 2014-2 Medidas de dispersión

Medidas de dispersión La medidas de dispersión indican la medida en que los datos se agrupan alrededor de la media aritmética. Una medida mientras más baja es, los datos están más cerca de la media; al contrario, una dispersión muy alta hace que la media aritmética ya no sea tan confiable al momento de tomar decisiones.

Tipos de medidas de dispersión Rango Desviación media Varianza Desviación estándar

Rango 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜=𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 −𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 Es la medida de dispersión mas simple, es la diferencia entre el dato mayor y el menor de una muestra. Esta medida es la que más se utiliza para realizar controles de procesos estadísticos (CPE), puesto que determina en qué parámetros nos debemos basar para la toma de decisiones. 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜=𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 −𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

Ejemplo….. Estamos vendiendo cámaras digitales con precios que varían según los megapíxeles, zoom, tipo de lente, capacidad de la Micro SD. Los precios en dólares que se han marcado para para modelo específico son: 340 450 425 280 220 390 290 370 400 310 380 500 270 475 Revisar cuál es el rango de precios que le ofreceremos a nuestros clientes Rango = 500 – 220 = 280

Desviación media Es el punto medio del rango; con esta medida se puede considerar cuál es el rango promedio de los datos de una muestra. Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones con respecto a la media aritmética.

𝑀𝐷= | 𝑋 − 𝑋 | 𝑛 Desviación media MD = Desviación media 𝑀𝐷= | 𝑋 − 𝑋 | 𝑛 MD = Desviación media X = Dato de la muestra n = Tamaño de la muestra = Sumar todos los datos

Ejemplo . . . 𝑋 = 20+40+50+60+80 5 = 250 5 =50 capuchinos La cantidad de capuchinos vendidos por Espresso Americano en el aeropuesto Toncontín, entre 3 y 4 de la tarde de una muestra de 5 días de hace dos meses fue de 20, 40, 50, 60 y 80. Calcular la desviación media Media aritmética 𝑋 = 20+40+50+60+80 5 = 250 5 =50 capuchinos Desviación Media 𝐷𝑀 = 20−50 + 40−50 + 50−50 + 60−50 +|80−50| 5 = 30+10+0+10+30 5 = 80 5 = 16

𝜎 2 Varianza Es la media aritmética de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado. Es la medida de dispersión más utilizada en los estudios inferenciales.

Varianza Poblacional Muestral 𝜎 2 = (𝑥 − µ) 2 𝑁 𝑺 2 = (𝑥 − 𝑋 ) 2 𝑛−1

𝜎 2 = (𝑥 − µ) 2 5 Ejemplo…… 𝜇= 38+26+13+41+22 5 = 140 5 =28 multas El número de multas de tránsito levantadas en los últimos cinco meses en su municipio es de 38, 26, 13, 41 y 22. Calcular la varianza de este período de tiempo. 𝜎 2 = (𝑥 − µ) 2 5 Primer paso: Calcular la media aritmética poblacional 𝜇= 38+26+13+41+22 5 = 140 5 =28 multas Segundo paso: Calcular la varianza 𝜎 2 = (38−28) 2 + (26−28) 2 + (13−28) 2 + (41−28) 2 + (22−28) 2 5

. . . ejemplo 𝜎 2 = (38−28) 2 + (26−28) 2 + (13−28) 2 + (41−28) 2 + (22−28) 2 5 = (10) 2 + (−2) 2 + (−15) 2 + (13) 2 + (−6) 2 5 = 100+4+225+169+36 5 = 534 5 =106.8 multas cuadradas Buscar una medida que elimine las unidades cuadradas.

𝜎 Desviación estándar Para calcular la desviación estándar se calcula la raíz cuadrada de la varianza. Con este simple método, se garantiza que las unidades se conviertan en unidades simples.

Ejemplo…… 𝜇= 𝑥 𝑁 =28 multas 𝜎= 2 106.8 5 = 10.3344 multas El número de multas de tránsito levantadas en los últimos cinco meses en su municipio es de 38, 26, 13, 41 y 22. Calcular la desviación estándar de este período de tiempo. 𝜎 2 = (𝑥 − µ) 2 5 = 106.8 multas cuadradas 𝜇= 𝑥 𝑁 =28 multas 𝜎= 2 106.8 5 = 10.3344 multas

Varianza y desviación estándar de muestras Ejemplo: Los salarios por hora de una muestra de empleados de medio tiempo de Home Depot son: $12, $20, $16, $18 y $19. Calcular la desviación estándar de la muestra. Proceso: Calcular la media aritmética Calcular la varianza Calcular la desviación estándar

𝑋 = 12+20+16+18+19 5 = 85 5 =17 dólares . . . Ejemplo Datos: 12, 20, 16, 18, 19 𝑋 = 12+20+16+18+19 5 = 85 5 =17 dólares 𝑠 2 = (12−17) 2 + (20−17) 2 + (16−17) 2 + (18−17) 2 + (19−17) 2 5 = (−5) 2 + (3) 2 + (−1) 2 + (1) 2 + (2) 2 5 = 25+9+1+1+4 5 = 40 5 = 10 s = 10 =3.16 dólares

Teorema de Chebyshev En cualquier conjunto de observaciones de una muestra o una población, la proporción de valores que se encuentran a k desviaciones estándar de la media es de por lo menos 1± 1/k2, siendo k cualquier constante mayor que 1.

Teorema de Chebyshev Una desviación estándar pequeña para una muestra, indica que estos valores se localizan cerca de la media; por el contrario, una desviación grande revela que las observaciones se encuentran muy dispersas con respecto a la media. Según el teorema de Chebyshev para una medida de dispersión sea confiable, el 75% de los datos deben encontrarse a cierta cantidad de desviaciones estándares de la media, ya sea antes o después de ella.

Teorema de Chevyshev Desviación grande Desviación pequeña

Ejemplo… La media aritmética de la suma quincenal que aportan los empleados de Officen Depot para el plan de reparto de utilidades de la compañía es de $51.54 y la desviación estándar de $7.51. ¿Qué porcentaje de las aportaciones se encuentra en más o menos de 3.5 desviaciones estándares? 𝑘 : cantidad de desviaciones estándares % desviaciones = 1− 1 𝑘 2

Ejemplo… % desviaciones = 1− 1 𝑘 2 = 1− 1 3.5 2 = 1− 1 12.25 = 1−0.0816 = 0.91836735 = 0.92 El 92% de los datos de la muestra están alrededor de las 3.5 desviaciones a ambos lados de la media aritmética.

La regla empírica o normal En cualquier distribución de frecuencias simétrica, aproximadamente el 68% de los datos se encuentran entre más y menos 1 desviación estándar; cerca del 95% se encuentran entre más y menos 2 desviaciones estándar y el 99.7% (casi todas) estarán entre más y menos 3 desviaciones estándar.

Ejemplo . . . En una empresa de bienes y raíces, los precios de la renta tienen una distribución de frecuencias simétrica. La media de la muestra es de $500 y la desviación estándar de $20. ¿entre qué cantidades se encuentra el 95% de los datos?. El 95% equivale a 2 desviaciones estándar a cada lado de la muestra. Primera: 𝜇 −2𝜎 = 500 – 2(20) = 500 – 40 = 460 Segunda: 𝜇+2𝜎=500+2 20 =500+40=540 El 95% de los precios oscilan entre 460 y 540 dólares.

TAREA Resolver y subir al Google Drive en la carpeta tarea07. Libro de texto Pag. : 79 Ejercicios: 35 - 40 Pag. : 82 Ejercicios: 41, 43, 45 Pag. : 85 Ejercicios: 49, 50, 51

Fin de la presentación Muchas gracias