Prof. Luis Martínez Catalán 2008 DERIVACION IMPLICITA Prof. Luis Martínez Catalán 2008

DERIVACION IMPLICITA En general, la ecuación , para determinados intervalos de , define a como una función de ; en tal caso su derivada se determina por el METODO DE DERIVACION IMPLICITA que consiste en derivar directamente, la ecuación considerada, como un polinomio en e teniendo presente que, para determinar dos intervalos de , la variable se comporta como función de y es diferenciable con respecto a , es decir, existe , que por la regla de la cadena, debe derivarse primero con respecto a y luego con respecto a

Ej: Por el método de derivación implícita, encontrar 1) -

2)

Ej: Determinar , si Solución:

Ej: Hallar la derivada de la relación Solución: Por definición de valor absoluto se tiene: ii) i) En i) y ii), derivando implícitamente, se observa que la derivada del 2º miembro es nula, por lo tanto, para i) y ii), se tiene: -

Ej: Hallar la ecuación de la tangente y normal a la curva En el punto (1,1) de ella Solución: (1,1) es pto. de la curva. Derivando implícitamente con respecto a se tiene: - T: N:

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Sí es diferenciable, entonces se tiene , 1ª derivada de con respecto a Puesto que es función de , se tiene derivando con respecto a , 2ª derivada de con respecto a es función de , entonces: , 3ª derivada de con respecto a

Sí tiene derivadas, se llega a la expresión: , -ésima derivada de con respecto a Ej: Determinar las derivadas sucesivas de Solución:

Ej: Determinar en la ecuación , suponiendo que es función de Solución: Derivando implícitamente:

APLICACIONES DE LA DERIVACION TEOREMA (Teorema de los valores extremos) Si es una función continua definida en el intervalo cerrado , existe (por lo menos) un punto tal que , en el cual toma el mayor valor, y existe, (por lo menos) un punto , tal que en el cual toma el menor valor.

Gráficamente se cumple en que es el máximo valor de en y se cumple en que es el máximo valor de en y es el mínimo valor de en

TEOREMA: Supóngase que es continua en un intervalo que toma su valor máximo (o mínimo) en algún punto que está en el interior del Intervalo. Si existe , entonces COROLARIO: Sí es un mínimo de , entonces , Siempre que exista la derivada NOTA: Es importante hacer notar que debe ser un punto interior al intervalo, puesto que , definida en Tiene un máximo en y un mínimo en y además en todo punto del intervalo

x y 1 2 es un mínimo de es un máximo de

APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo, Concavidad hacia arriba, Concavidad hacia abajo y punto de inflexión en la función. Analizando el comportamiento de la función se tiene, sí: es un máximo o un mínimo concavidad Punto de inflexión de la función, cambio de concavidad

Entonces: 1) es un máximo relativo de la función en 2) es un mínimo relativo de en 3) tiene un punto de inflexión en NOTA 1: Los puntos donde tiene un máximo, un mínimo y un punto de inflexión se llaman puntos críticos de la función. NOTA 2: No siempre cuando la función tiene un punto extremo (máximo o mínimo).

Ej: Estudie y grafique la función Dominio de existencia: Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Puntos extremos -1 1

Sí es creciente es decreciente es creciente

Concavidad: Punto de inflexión Sí es cóncava hacia abajo es cóncava hacia arriba Ahora: y tiene un máximo, su valor tiene un mínimo, su valor

Así la gráfica resulta: x y -1 1 5 -3