Geometría del espacio – Sólidos geométricos - PRISMA PROFESOR: Felipillo Asmad

CUERPOS SÓLIDOS Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos).

Actividad ¿Qué características comunes ves a todos ellos?

DEFINICIÓN Estos cuerpos se llaman poliedros y podemos decir de forma simplificada que son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.

Actividad Observa los siguientes poliedros. Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?

DEFINICIÓN A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás convexos. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.

Actividad En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos. a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos? b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro? Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice.

CONCLUSIÓN En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + 2

¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer: ¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? ¿Y el plano diagonal? ¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior?

POLIEDROS REGULARES Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.)

DEFINICIÓN Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden.

Un desarrollo de cada sólido platónico Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.

PRISMA Felipillo no te olvides del video :D Un prisma es un poliedro limitado por dos caras congruentes y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases

Prisma recto Prisma recto Prisma oblicuo Ejemplos: A B C D E F G H I J Prisma recto Prisma recto Prisma oblicuo

PRISMA REGULAR: Ejemplo: Un prisma regular es un prisma recto cuyas bases son regiones poligonales regulares Ejemplo:

Alateral= perímetro x h AREA LATERAL DE UN PRISMA RECTO El área lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura. Ejemplo: a h = h a a a a a Alateral= perímetro x h

Atotal = Alateral +2Abase AREA TOTAL DE UN PRISMA Se obtiene sumando al área lateral las áreas de las bases Ejemplo: a h a h + = Atotal = Alateral +2Abase

V= Abase x h VOLUMEN DE UN PRISMA h h a a El volumen de un prisma es igual al producto del área de su base por su altura. h h a a V= Abase x h

Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismas cuadrangulares. Estos son los paralelepípedos llamados así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos. Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de paralelepípedo rectángulo u ortoedro.

Ejercicios

Problema 1 Área lateral = (Perímetro).(altura) 4 3 5 Área lateral = (3+4+5).10 = 120 10 4 3 5

Problema 2 13 13 12 5 5 12 13 13 Área de la base = 120 Volumen = 120 . 24 Volumen = (Área de la base).(altura) = 2880

Problema 3 6 8 5 5 3 4 6 4 Área lateral = (5+6+5+14).8 = 240

Problema 4 a 2 13 2a 2a 3a Pitágoras: (3𝑎) 2 + (2𝑎) 2 = (2 13 ) 2 9 𝑎 2 +4 𝑎 2 = 4.13 13 𝑎 2 = 4.13 𝑎 2 = 4 𝑎 =2 Volumen: 2a . 3a . a = 48

Problema 5 a c b Reemplazaremos en el siguiente producto notable: (𝑎+𝑏+𝑐) 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 +(2𝑎𝑏+2𝑎𝑐+2𝑏𝑐) (12) 2 = 56 + Área total 88 = Área total

Problema 6 37° 10 6 3k = 15/2 8 37° 10 = 4k 5/2 = k Área lateral = (6+6+8+8).(15/2) = 210

Problema 7 2 2 3 10 1 1 2 2 Área de la base = 2 3 2 = 3 2 Volumen = 3 . 10=10 3

4 Problema 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 12 2 2 Área de la base = 6 4.2 3 2 =24 3 Volumen = 24 3 .12=288 3

Problema 9 Área lateral = 16.6 = 96 6 4 4 4 4

Problema 10 1 D 2 2 2 D 1 2 2 2 Pitágoras: (2 2 ) 2 + 1 2 = 𝐷 2 8 + 1 = 𝐷 2 3 = 𝐷

Problema 11 Área total = Área lateral + 2 Área de la base 4 3 5 Área lateral = (3+4+5).(2,5) = 30 2,5 Área de la base = (3.4)/2 = 6 4 Área total = 30 + 2.6 3 = 42 5

Problema 12 Área lateral = (12+12+12+12) . 24 = 1152 24 12 12 12 12

Problema 13 8 6 10 Área de la base = (6.8)/2 = 24 12 Volumen = 24. 12 = 288 8 6 10

Problema 14 Pitágoras: 𝑎 2 + 𝑎 2 = (10 2 ) 2 2 𝑎 2 = 100.2 𝑎 2 = 100 𝑎 = 10 Área lateral = (10+10+10+10) . 30 = 1200 30 Área de la base = 10 . 10 = 100 a Área total = 1200+ 2 . 100 10 2 a = 1400 a a

Problema 15 Datos: 2a + 2b = 34 a . b = 60 a = 5 D = 85 13 4D = 340 a + b = 17 Entonces: b = 12 a = 5 b = 12 D = 85 c Pitágoras: 𝑐 2 + 13 2 = 85 2 𝑐 2 +169 = 7225 𝑐 2 = 7056 𝑐 = 84 Hallando el volumen V = a . b . c = 5040

Problema 16 2,8m 3cm x Sabiendo que un metro es cien centímetros Tenemos que: 3 cm = 0,03 m Volumen: (0,03) . (x) . (2,8) = 0,45 (3) . (x) . (28) = 450 x = 5,36 m

Problema 17 c c b a a b a . b = 8 Nos piden el volumen del paralelepípedo rectangular: V = a . b . c b . c = 10 a . c = 6 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 =480 𝑎.𝑏.𝑐= 480

Área lateral = (𝑎 + 𝑎 +2 𝑎 +2 𝑎) . 6 Problema 18 Dato: Área total = 144 6 D Área lateral = (𝑎 + 𝑎 +2 𝑎 +2 𝑎) . 6 3 = a 3 5 = 36 𝑎 x a Área de la base = 𝑎.(2𝑎) 2a = 6 = 2 𝑎 2 Sabemos que: Área total = Área lateral + 2(Área de la base) Pitágoras: 6 2 + (3 5 ) 2 = 𝐷 2 36 + 45 = 𝐷 2 81 = 𝐷 2 𝐷 = 9 144 = 36𝑎 + 2 (2 𝑎 2 ) 0 = - 144 + 36 𝑎 + 4 𝑎 2 0 = 4 𝑎 2 + 36a - 144 0 = 𝑎 2 + 9 𝑎 - 36 𝑎 12 𝑎 −3 Entonces: 𝑎=3

Problema 19 6 3 3 3 3 a a a a a Pitágoras: (3𝑎) 2 + (3 3 ) 2 = 6 2 9 𝑎 2 + 27 = 36 9 𝑎 2 =9 𝑎 2 = 1 𝑎 = 1 Volumen = (Área de la base) . (altura) a = 3 4 .3 3 = 9 4

Problema 20 Echando el paralelepípedo rectangular: 6 6 24 24 Volumen del paralelepípedo rectangular = 24 . 6 = 144 6 Volumen del prisma triangular = 144/2 = 72

Problema 21 Pitágoras: 𝑎 2 2 + (4 3 ) 2 = 𝑎 2 𝑎 2 4 + 48 = 𝑎 2 𝑎 2 + 192 = 4𝑎 2 3𝑎 2 = 192 𝑎 2 = 64 𝑎 = 8 a a 4 3 a/2 a/2 5 Volumen = (Área de la base) . (altura) a = 64 3 4 . 5 a = 80 3 a