Vectores Un vector es un ente matemático que posee dirección sentido y magnitud. La dirección se refiere a la posición del vector: Horizontal, vertical, oblicuo, etc. El sentido señala la orientación: De arriba hacia abajo, de Norte a Sur etc. La magnitud es tamaño del vector, es el valor numérico del mismo.
Representación gráfica de vectores
Gráficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.
Suma gráfica de vectores
Con más de dos vectores
Componentes de un vector Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas. Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen hasta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.
Escrito matemáticamente Sea el ángulo que forma con el eje horizontal Sea ax y ay las proyecciones en los ejes x e y respectivamente
Usando trigonometría, recordemos: Cat. Opuesto al ángulo Cat. adyacente al ángulo
Luego:
Sea por lo tanto cada componente escrita de la siguiente forma
Donde: Representa el módulo del vector “a” Representan vectores unitarios para los ejes x,y,z respectivamente
Operaciones con vectores Suma de vectores: Un vector que posee diferentes componentes se sumara a otro respetando estas componentes, es decir se sumaran los términos que correspondan al mismo grupo de pares ordenados.
Sumando dos vectores y sus proyecciones
Producto punto El producto o multiplicación de vectores se puede realizar de la misma forma en que se resuelven los polinomios, pero respetando un par de reglas para los vectores unitarios.
Ejemplo: Sean los siguientes vectores:
1 1 1 El resultado es un escalar (NO VECTOR)
Módulo de un vector El modulo representa el tamaño del vector Y es un escalar. Matemáticamente se escribe: si
Además se define el vector unitario del vector A
Producto Cruz El producto cruz (X) es otro tipo de producto entre vectores, a diferencia del producto usual o punto su resultado es un vector. Al igual que en el caso anterior existen reglas que se deben respetar.
No es conmutativo
Producto en sentido Horario es positivo Existe una regla mnemotécnica para el producto cruz X ( + ) = Producto en sentido Horario es positivo
X ( - ) = Producto en sentido anti-horario es negativo
Ejemplo: Sean nuevamente los siguientes vectores:
Reordenando
Ejemplo numérico