Interés Compuesto

SUPUESTO LOGICO Un capital P, invertido en un momento cualquiera puede crecer durante intervalos iguales a una tasa constante.

DEFINICION Capital Los intereses se capitalizan, es decir, se añaden al capital al final de cada periodo de composición. Intereses Capital + Intereses

Periodo C. Inicial(P) Intereses(I) C. Final (F) 1 1.000 100 1.100 2 10% 2 110 1.210 3 121 1.331 4 133,10 1.464,10 5 146,41 1.610,51

Periodo C. Inicial(P) Intereses(I) C. Final (F) 1 P Pi P(1+i) 2 10% 2 P(1+i)i P(1+i)2 3 P(1+i)2i P(1+i)3 . ...... ....... ........ n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n

Características Los intereses devengan intereses Los intereses son crecientes en cada periodo de capitalización Se aplica en cualquier tipo de operación tanto a corto como a largo plazo La equivalencia de capitales es perfecta

Elementos P: Valor Presente o capital Inicial F: Valor Futuro o Monto final I: Intereses i: tasa del periodo n: nº de periodos k: Frecuencia de la capitalización Periodo de capitalización: intervalo de tiempo al final del cual se ganan los intereses

Número de veces que se capitalizan los intereses al año. Frecuencia de capitalización (k) Número de veces que se capitalizan los intereses al año. ¿Cuál es la frecuencia de capitalización si realizo un depósito en un banco que paga 21% de interés anual convertible cuatrimestralmente? La frecuencia es 3

F = P(1+i)n I = P((1+i)n-1) P = F(1+i)-n NOTACION Y FORMULAS i = Tasa del periodo de capitalización P = Valor presente o capital invertido I = Intereses devengados. n = Nº de periodos de capitalización F = Valor futuro o Monto final

P I2 I1 F = P(1 + i)n VALOR FUTURO COMO FUNCION DEL TIEMPO Tiempo 1 2 V.Futuro Tiempo 1 I2 I1 F = P(1 + i)n 2

P F = P(1 + i)n F = P(1 + i*n) GRAFICAS DE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO V.Futuro Tiempo 1 F = P(1 + i*n)

Ejercicio Nº1 ¿Cuál es el valor final de una inversión de Bs. 1.000.000 colocados durante un año al 36% nominal anual capitalizable mensualmente? R: 1.425.760 ¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia real?

Tasa que se declara en la operación financiera TASAS Nominal: i Tasa que se declara en la operación financiera Proporcional o del periodo:ip Efectiva: ie Tasa real de ganancia anual

Ejercicio Nº2 ¿Cual es la tasa efectiva de la operación si colocamos Bs. 1.000.000 al 24% nominal anual convertible trimestralmente durante dos años? R:26,25% anual

TASAS EQUIVALENTES Dos tasas son equivalentes si aplicadas a capitales iguales en el mismo periodo de tiempo producen el mismo capital final Tasa nominal: i Frecuencia anual: k Tasa nominal:j Frecuencia anual: p

Ejercicio Nº3 Hallar la tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente que es equivalente a 60% nominal anual capitalizable mensualmente. R: 64,65%

Ejercicio Nº4 Hallar la tasa efectiva anual equivalente a 48% nominal anual capitalizable mensualmente(nacm) R: 60,10%

Frecuencia de capitalización Tasa equivalente trimestral Ejercicio 5 : Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla: Frecuencia de capitalización Tasa del periodo Tasa efectiva Capital Final Tasa equivalente trimestral Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal Diaria

1000 hoy es equivalente a 1210 dentro de dos periodos. La equivalencia de capitales es perfecta 1.000 1 2 1.210 1.100 1000 hoy es equivalente a 1210 dentro de dos periodos. 1000 hoy es equivalente a 1100 dentro de un periodo. 1100 dentro de un periodo es equivalente a 1210 dentro de dos periodos.

P hoy es equivalente a P2 en t2 La equivalencia de capitales es perfecta P t1 t2 P2 P1 P hoy es equivalente a P2 en t2 P hoy es equivalente a P1 en t1 P1 en t1 es equivalente a P2 en t2

F = P(1 + i)n  F VALOR PRESENTE ¿Cuánto debo invertir hoy para obtener mañana una suma de F ? P = Valor presente de F F Tiempo Valor Presente F = P(1 + i)n 

Los intereses de la fracción se calculan a interés simple PERIODOS FRACCIONARIOS Convenio lineal Los intereses de la fracción se calculan a interés simple Convenio exponencial Los intereses de la fracción se calculan a interés compuesto con la tasa equivalente

Ejercicio Nº6 Usted necesita 5.000 $ para sus vacaciones de Diciembre con la familia. Si puede colocar el capital en un Banco que paga el 12% n.a. capitalizado mensualmente, ¿cuánto debe depositar el 1° de Febrero si quiere irse de vacaciones el 1° de Diciembre? R: 4.526 $

Ejercicio Nº7 Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20% anual capitalizado semestralmente, por los siguientes cuatro meses a 30% anual capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27% anual capitalizado cuatrimestralmente y, finalmente, por 15 meses mas a una tasa de 24% anual capitalizado trimestralmente. El monto al término de la operación fue de 4.049.457,14. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operación. R: 2.000.000 ; 26,51%

Ejercicio Nº8 En una institución financiera se colocan Bs. 100.000 al 30% nominal anual con capitalización mensual durante 20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se retiraron Bs. 200.000 y Bs. 500.000 respectivamente. Si la tasa de interés disminuye a 18 % nominal anual capitalizado trimestralmente a partir de finales del séptimo año, determine la cantidad adicional que se debe depositar a principios del año 15, para compensar los retiros y la disminución de la tasa de interés y lograr reunir la misma cantidad que se hubiese obtenido de no producirse ningún cambio. R: 12.552.332

Ejercicio Nº9 Se invierten 100.000 a una determinada tasa nominal anual capitalizada semestralmente para que al transcurrir 12 años se obtenga como capital final el monto de 1.517.862,89. Si al final de cada 3 años, a lo largo de toda la operación financiera, la tasa nominal anual se reduce en 2%, determine las cantidades adicionales iguales a ser colocadas en los años 5 y 9 para seguir disponiendo del mismo capital final. R : 78.867

Ejercicio Nº10 Un inversionista coloca su capital a una tasa de 20% nominal anual capitalizado trimestralmente, durante 15 años. El total de intereses devengados entre final del año 6 y finales del primer trimestre del año 9 es 177.808,86. Determine el capital acumulado al final de los 15 años. R: 1.867.918

Dentro de un año tendré Bs. 1.425.760,89 Solución Nº1 F = P(1+i)n P: 1.000.000 n = 12 mesesF = 1.000.000(1+0,03)12 = 1.425.760,89 Dentro de un año tendré Bs. 1.425.760,89

Solución Nº2 La tasa efectiva ( ie ) es la tasa compuesta anualmente que produce el mismo valor futuro que colocar al 24% n.a.c.t. Por eso, Tasa efectiva de 26,25% anual

En este sentido, la tasa efectiva es la tasa Solución Nº3 Tasa: 64,65% nominal anual capitalizable Cuatrimestralmente. En este sentido, la tasa efectiva es la tasa anual equivalente

Solución Nº4 Tasa efectiva anual de 60,10%

Frecuencia de capitalización Tasa equivalente trimestral Solución 5: Se colocan Bs. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente tabla: Frecuencia de capitalización Tasa del periodo Tasa efectiva Capital Final Tasa equivalente trimestral Anual 36% 1.360 31.96% n.a. Semestral 18% 39.24% 1.392,4 34.51% n.a. Cuatrimestral 12% 40.49% 1.404,9 35.48% n.a. Trimestral 9% 41.15% 1.411,5 36.00% n.a. Bimestral 6% 41.85% 1.418,5 36.53% n.a. Mensual 3% 42.57% 1.425,7 37.09% n.a. Quincenal 1,5% 42.95% 1.429,5 37.37% n.a. Diaria 0,1% 43.30% 1.433,0 37.65% n.a.

Solución Nº6 Necesita depositar 4.526,43 $

Solución Nº7 El capital inicial es 2.000.000 y la tasa efectiva es 26,51%

Solución Nº8 100.000 200.000 5 500.000 10 14 X 20 7 18%

Solución Nº9 Diagrama Temporal: 100.000 3 9 12 X 6 5 24% 22% 20% 18%

Solución Nº9 Debe colocar Bs. 78.867,68

Solución Nº10 Diagrama Temporal: 6 8 9 15 1 9 trimestres Al final de los 15años tendrá un capital de Bs. 1.867.918,60