Matemática 5º Núcleo común Tema 2 Prof. Richard Gómez Matemáticas

FUNCIÓN CÚBICA Tema

Función de Tercer Grado Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3 + b.x2 + c.x + d , entonces podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así: f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en forma de “S”. La función cúbica, al igual que la cuadrática o la función lineal, forman parte de las llamadas funciones polinómicas, pues su característica principal es que su forma de expresión algebraica es un polinomio. Para representarla de forma gráfica, por ahora, estudiaremos de ella principalmente los puntos de corte con los ejes y el signo de la función. Richard Gómez Pereira Matemáticas

y Sea y = x3 Tabla de valores x y -3 -27 -2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8 3 27 27 8 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -8 Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva en forma de “S”. -27

Dominio, imagen y simetría. Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Todo valor de x tiene su correspondiente imagen. El dominio de f(x) será: Dom f(x) = R RECORRIDO La imagen de una función cúbica, al igual que el dominio es R Se designa así: Img f(x) = R SIMETRÍA IMPAR Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Veamos si hay simetría impar: f(-x) = a.(-x)3 + b.(-x)2 + c.(-x) + d f(-x) = - a.x3 + b.x2 – c.x + d Luego - f(-x) = a.x3 - b.x2 + c.x - d En las funciones cúbicas habrá simetría IMPAR si b=d=0

Cortes con los ejes Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d CORTES CON EL EJE Y Cortará al eje de ordenadas, Y, cuando x=0 Luego: y = a.03 + b.02 + c.0 + d = d El punto de corte será: Pc = (0, d) CORTES CON EL EJE X Cortará al eje de las x cuando y=0 Luego: 0=a.x3 + b.x2 + c.x + d  Ecuación de tercer grado. Las tres raíces de la ecuación, si existen, serán los puntos de corte de la función con el eje de las x. Al menos habrá una raíz real, y por tanto un punto de corte. Cortes: Pc = (x1, 0), Pc = (x2, 0), Pc = (x3, 0) Y X Pc Pc Pc Pc V I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 1 Sea la función: f(x) = x3 –3x + 2 Cortes con ejes de coordenadas: Con OY: f(0) = 2  Pc(0,2) Con OX: 0 = x3 –3x + 2 Factorizando por Ruffini: f(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1) Pc(-2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) Signo de la función (intervalos): En (-oo, -2)  f(-3)=-27+9+2 =-16 < 0 En (-2, 1)  f(0) = 0 – 0 +2 =2 > 0 En (1, +oo)  f(2) = 8 – 6 + 2 = 4 > 0 Y ya podemos hacer un esbozo de la función. Pc Pc Pc @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 2 Sea la función f(x) = - x3 + 4x Cortes con ejes de coordenadas: Con OY: f(0) = 0  Pc(0,0) Con OX: 0 = - x3 + 4x Factorizando el polinomio: f(x) = – x (x2 – 4) = – x.(x + 2)(x – 2) Pc(0,0) , Pc(-2, 0), Pc(2, 0) Signo de la función (intervalos): En (-oo, -2)  f(-3)= -(-27)-12 = 15 > 0 En (-2, 0)  f(-1) = -(-1) – 4 = -3 < 0 En (0, 2)  f(1) = -1 + 4 = 3 > 0 En (2, +oo)  f(3) = - 27 + 12 = -15 < 0 Y ya podemos hacer un esbozo de la función. Pc Pc Pc @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Sea la función: f(x) = 8 – x3 Cortes con ejes de coordenadas: Ejemplo 3 Sea la función: f(x) = 8 – x3 Cortes con ejes de coordenadas: Con OY: f(0) = 8  Pc(0,8) Con OX: 0 = 8 – x3 Factorizando por Ruffini: f(x) = (x – 2).(– x2 – 2.x – 4) Pc(2, 0) Signo de la función (intervalos): En (-oo, 2)  f(0) = 8 > 0 POSITIVO En (2, +oo)  f(3) = 8 – 27 = – 19 < 0 NEGATIVO Y ya podemos hacer un esbozo de la función. Pc Pc

FUNCIÓN POLINÓMICA EJEMPLO DE FUNCIÓN POLINÓMICA DE ORDEN CUATRO Representar la función f(x) = (1/4).x4 – 2.x2 CORTES CON LOS EJES Puntos de corte con los ejes. Con OY  x = 0  y = 0  Pc (0,0) Con OX  y = 0  (1/4).x4 – 2.x2 = 0 Sacando factor común a x2 x2 [ (1/4).x 2 – 2 ] = 0 x2 = 0  x=0  Pc(0, 0) (1/4).x 2 – 2 = 0  x 2 = 8  x = ± 2√2 Luego los otros dos puntos de corte son: Pc ( - 2√2 , 0) y Pc ( + 2√2, 0) Nótese que dos de los tres puntos de corte con OX coinciden.

Signo de la función Ejemplo 1 - + + + + + + + - - - + Tenemos la función f(x) = (1/4).x4 – 2.x2 Factorizada queda: y = (1/4).x2.(x2 – 8) y = (1/4).x2.(x – √8)(x + √8) y = (1/4).x2.(x – 2√2)(x + 2√2) Se halla el signo de cada factor: - oo – 2√2 0 2√2 +oo ( x + 2√2 ) - + + + + + + + (1/4).x2 - - - + ( x – 2√2 ) f(x) + - - +

Tendencia y Simetría TENDENCIA O RAMAS ASINTÓTICAS Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(- oo)4 – 2.(- oo)2 = + oo x  - oo Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(oo)4 – 2.(oo)2 = + oo x  + oo SIMETRÍAS f ( - x) = (1/4).(-x)4 – 2.(-x)2 = (1/4).x4 – 2.x2 Vemos que presenta simetría par, pues f (x) = f ( - x) Al tener simetría par (es función par) No puede tener simetría impar.

Sea la función: y = (1/4).x4 – 2.x2 Tabla de valores x y -3 2 -2√2 0 -2 - 4 -1 -1,75 0 0 1 -1,75 2 - 4 2√2 0 3 2 y -3 -2 -1 0 1 2 3 x