Potencia Circuitos Eléctricos 2

p(t) = v(t) i(t) = i2(t)R = v2(t)/R Potencia instantánea La potencia instantánea se define como: p(t) = v(t) i(t) Para una resistencia es: p(t) = v(t) i(t) = i2(t)R = v2(t)/R Para una bobina: Para un capacitor:

Potencia en el circuito RL

Potencia de excitación senoidal La respuesta al estado senoidal es: i(t) = Im cos (wt – f) Usando Potencia promedio

Ejemplo en Matlab Potencia promedio = (1)(0.0089)(cos(–1.107)) = 0.002 Voltaje corriente potencia %Potencia instantanea % senoidal en un circuito RL w = 1000; Vm = 1; R = 50; L = 100e-3; Im = Vm/sqrt(R*R+w*w*L*L); fi = -atan(w*L/R); t = 0:0.00005:0.01; i = Im*cos(w*t+fi); v = Vm*cos(w*t); p = v.*i; plot(t,v,t,i*100,t,p*100) grid Factor de escala Potencia promedio = (1)(0.0089)(cos(–1.107)) = 0.002

Ejemplo Una fuente de tensión de 40 + 60 u(t) un capacitor de 5 mF y un resistor de 200 están en serie. Determine la potencia que absorbe el resistor y el capacitor en t = 1.2 ms. vC(0–) = vC(0+) = 40 V vR(0+) = 60 V por tanto i(0+) = 60/200 = 300 mA i está dada por i(t) = 300e– t /t mA = RC = 1 ms en t = 1.2 ms i = 90.36 mA la potencia en R es pR(1.2m) = i2R = 1.633 W La potencia en C es i(t)vC(t) es fácil ver que vC(t) = 100 – 60e– t /t V vC(1.2m) = 100 – 60e–1.2 V = 81.93 V la potencia es (90.36)(81.93) = 7.403 W

Tarea #14 Una fuente de corriente de 12 cos(2000t) A, un resistor de 200 W y un inductor de 0.2 H, están en paralelo. En t = 1ms determine la potencia que absorbe el resistor, el inductor y la fuente senoidal. 13.98 kW, –5.63 kW, –8.35 kW

Potencia promedio o activa La potencia promedio se define como Para una función periódica f(t) = f(t + T) p(t) t t1 tx t1+ T tx+ T

Potencia promedio o activa Podemos calcular la potencia promedio como Si n se hace muy grande y con un intervalo simétrico

Ejemplo i(t) = Im t/T 0<t<T i(t) = Im (t – T)/T T<t<2T p(t) = Im2 Rt2/T2 0<t<T p(t) = Im2R (t – T)2/T2 T<t<2T P = Im2R/3 –T T 2T t p(t) Im2R –T T 2T t

Potencia en estado senoidal Para el estado senoidal v(t) = Vm cos(wt + q) i(t) = Im cos(wt + f) p(t) = Im Vm cos(wt + q) cos(wt + f) p(t) = ½Im Vm cos(q - f)+½Im Vm cos(2wt + f + q) P = ½Im Vm cos(q - f) La potencia promedio es:

Ejemplo Dada la tensión en el domino del tiempo v = 4cos(pt/6) V, determine la potencia promedio y una expresión para la potencia instantánea que se produce cuando la tensión fasorial correspondiente a V = 4/_0° V se aplica a través de una impedancia Z = 2/_60° W.

Ejemplo v(t) = 4cos(pt/6) V Z = 2 60° Ohm i(t) = 2 cos(pt/6–60°) A Voltaje corriente potencia v(t) = 4cos(pt/6) V Z = 2 60° Ohm i(t) = 2 cos(pt/6–60°) A P = ½(4)(2)cos(60°) = 2 W p(t) = 8 cos(pt/6) cos(pt/6–60°) =2 + 4 cos(pt/3–60°) W

Tarea #15 Dada la tensión fasorial V = 115245° V en una impedancia Z = 16.2619.3° W, obtenga una expresión para la potencia instantánea y calcule la potencia promedio (activa) si w = 50 rad/s. 767.5 + 813.2 cos(50t + 70.7°)W; 767.5 W

Potencia promedio absorbida por un resistor ideal En este caso la diferencia de fase es cero, de modo que: P = ½Im Vm cos(0) = ½Im Vm

Potencia promedio absorbida por elementos puramente reactivos En este caso la diferencia de fase es 90° de modo que: P = ½Im Vm cos(90°) = 0 La potencia promedio entregada a una red formada solo de inductores y capacitores es cero.

Ejemplo ZL = 45j; ZC = -100j; R = 2; V1 = 10*(cos(50*pi/180)+j*sin(50*pi/180)); V2 = -5; % Matriz del sistema Z = [ZL+R, -R; -R, ZC+R]; % vector de voltajes V = [V1;V2]; % corrientes I = inv(Z)*V; % corriente en R IR = I(1)-I(2); % potencia promedio en R PR = R*abs(IR)*abs(IR)/2; PV1 = abs(I(1))*abs(V1)/2*cos(angle(V1)-angle(I(1))); PV2 = abs(I(2))*abs(V2)/2*cos(angle(V2)-angle(I(2))); fprintf('Potencia promedio en la resistencia = %8.6f\n',PR) fprintf('Potencia suministrada por V1 = %8.6f\n',PV1) fprintf('Potencia suministrada por V2 = %8.6f\n',PV2) fprintf('Suma = %8.6f\n',PV1+PV2) Encuentre la potencia promedio (activa) entregada a cada uno de los elementos pasivos. % +---ZL---+----ZC---+ % | | | % V1 R V2 % +--------+---------+ Potencia promedio en la resistencia = 0.037576 Potencia suministrada por V1 = 0.042007 Potencia suministrada por V2 = -0.004431 Suma = 0.037576

Tarea #16 En el circuito de la figura, calcule la potencia promedio que absorbe cada uno de los elementos del circuito. % +---R1---+----R2---+ % | | | % V1 ZL ZC % +--------+---------+ V1 = 100 V R1 = 4 Ohms R2 = 10 Ohms ZL = 5j Ohms ZC = -5j Ohms

Transferencia de potencia máxima Una fuente de tensión independiente en serie con una impedancia Zth o una fuente de corriente independiente en paralelo con una impedancia Zth entrega una potencia promedio (activa) máxima a una impedancia de carga ZL, que es el complejo conjugado de Zth o ZL = Zth*. Zth ZL + –

Potencia promedio para funciones no periódicas i(t) = sent + senpt no periódica i(t) = sent + sen 3.14t si periódica El valor promedio de sen2t es ½, también el de sen2pt es ½. El valor promedio de sent senpt es 0. Por lo tanto P = ½ + ½ = 1 W Generalizando i(t) = Im1cosw1t + Im2cosw2t +...+ ImNcoswNt Superposición de potencia para frecuencias diferentes.

Ejemplos Determine la potencia promedio que entrega la corriente I1 = 2 cos 10t – 3 cos 20t A a un resistor de 4 W. Dado que las frecuencias son diferentes P = ½ (2)24 + ½ (3)24 = 8 + 18 = 26 W. Determine la potencia promedio que entrega la corriente I2 = 2 cos 10t – 3 cos 10t A a un resistor de 4 W. Como la frecuencia es la misma, se debe escribir la corriente como una sola cosenoidal. I2 = –cos 10t P = ½ 124 = 2 W

Valores eficaces de I y V La potencia entregada a una resistencia R es: La potencia que entrega una corriente directa es: P = Ief2R Igualando y despejando Ief Esta expresión define es el valor RMS (raíz cuadrada media)

RMS de una senoidal Si i(t) = Im cos(wt + f)

RMS y potencia promedio La potencia promedio en una resistencia R es: P = ½ Im2 R Como Im = 2 Ief, la potencia promedio es P = Ief2 R P = Vef Ief cos(q – f) P = Vef2 /R

Ejemplo La amplitud de un valor de tensión o corriente senoidal difiere del valor eficaz por un factor de 2. 50/_30° V = 35.4/_30° Vrms

Valor eficaz para varias frecuencias La potencia promedio de una señal de múltiples frecuencias esta dada por: Por tanto Entonces para frecuencias diferentes

Ejemplo Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 4 sen(25t + 30°) La siguiente función en MatLab calcula el valor rms. rms('6*cos(25*x)+4*sin(25*x+30*pi/180)',2*pi/25) ans = 6.1644 function y = rms(f,T) % calcula la raiz cuadrada media F = inline(strcat('(',f,').*(',f,')')); Q = quad(F,0,T); y = sqrt(1/T*Q);

Ejemplo Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 5 cos225t rms('6*cos(25*x)+5*cos(25*x).*cos(25*x)',2*pi/25) ans = 5.23221 Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 5 cos30t + 4 Para este caso hay que utilizar sqrt(rms('6*sin(25*x)',2*pi/25)^2+rms('5*sin(30*x)',2*pi/30)^2+16) ans = 6.8191

Tarea #17 Utilice la función rms definida para Matlab para encontrar el valor rms de: a) 5 cos 40t b) v(t) = 10 + 9 cos 100t + 6 cos 100t c) h(t) = 2 + 3 cos100t + 4 cos(101t – 120°)

Potencia aparente Para el estado senoidal v(t) = Vm cos(wt + q) i(t) = Im cos(wt + f) La potencia promedio es P = Ief Vef cos(q - f) Al término Ief Vef se le llama potencia aparente y se mide en VA (Volt-Ampere). Factor de potencia = Potencia promedio/potencia aparente = cos(q - f) Al ángulo (q - f) se le llama ángulo de FP.

Is = (60/_0°)/(3+j4) = (60/_0°)/(5/_53.13°) = Ejemplo Calcule valores para la potencia promedio suministrada a cada una de las cargas de la figura, así como la potencia aparente que proporciona la fuente y el factor de potencia de las cargas combinadas. La tensión eficaz es 60 V rms que aparece a la combinación de la carga 2–j1+1+j5 = 3+j4 W La corriente que suministra la fuente es Is = (60/_0°)/(3+j4) = (60/_0°)/(5/_53.13°) = 12/_–53.13° La potencia promedio que suministra la fuente es Ps = (60)(12)cos(0°–53.13°) = 432 W La potencia aparente es VefIef = (60)(12) = 720 W El factor de potencia es PF = 342/720 = 0.6 (retrasado) La potencia promedio que se entrega a cada carga es Psuperior = 122(2) = 288 W Pderecha = 122(1) = 144 W 2-j1 1+j5 60/_0° Vrms

P = Re{Vef e jq Ief e -jf)} Potencia compleja La potencia promedio esta dada por P = Ief Vef cos(q - f) Puede escribirse como: P = Ief Vef Re{e j(q - f)} P = Re{Vef e jq Ief e -jf)} P = Re{Vef Ief*} Definimos la potencia compleja como: S = Vef Ief* S = P + jQ Donde Q es la potencia reactiva Im S Q q - f P Re Triángulo de potencia

Potencia compleja El signo de la potencia reactiva caracteriza la naturaleza de la carga a la cual se especifican Vef e Ief. Si la carga es inductiva, entonces (q – f) es un ángulo entre 0 y 90°, el seno de este ángulo es positivo y la potencia reactiva es positiva. Una carga capacitiva produce una potencia reactiva negativa. Im Vef Iefcos(q - f) Iefsen|q - f| q - f Ief Re

Medición de la potencia Un wattímetro registra la potencia real promedio consumida por una carga y con un varmetro se obtendrá la potencia reactiva Q consumida por la carga. La potencia compleja entregada a varias cargas interconectadas es igual a la suma de las potencias complejas entregadas a cada una de las cargas individuales, sin importar cómo están interconectadas.

Ejemplo un consumidor industrial opera un motor de inducción de 50 kW (67.1 hp) a FP retrasado de 0.8. La tensión de la fuente corresponde a 230 V rms. Para obtener tarifas eléctricas inferiores, el consumidor debe elevar el FP retrasado. Especifique una solución plausible. Se debe agregar una impedancia para corregir el FP en paralelo con el motor. La potencia S1 tiene parte real P = 50 kW y parte imaginaria Q = 50*tan(cos-1(.8)) = 37.5 VA, entonces S1 = 50 + j37.5 kVA Si se desea FP = 0.95, la potencia acompleja total debe ser S = 50 + j50*tan(cos-1(.95)) = 16.43 kVA y S2 = S – S1 = 50 + j16,43 – 50 – j37.5 kVA = – j21.07 kVA La corriente que atraviesa S2 es I2* = S2 /V = – j21.07/230 = – j91.6 A I2 = j91.6 A Z2 = V/I2 = 230/ j91.6 = – j2.51 W Si f = 60 Hz, un capacitor de C = 1/(2.51*2*p*60) = 1.056 mF + I I1 I2 V S1 S2 –

Terminología de potencia Término Símbolo Unidad Descripción Potencia instantánea p(t) W p(t) = v(t)i(t) valor de la potencia en un instante cualquiera Potencia promedio P En el estado senoidal Valor eficaz o rms Vrms o Irms V o A Senoidal Im/2 Potencia aparente |S| VA |S| = Vef Ief Factor de potencia PF Ninguna 1 para cargas puramente resistivas y para cargas puramente reactivas Potencia reactiva Q VAR Para medir flujo de energía en cargas reactivas Potencia compleja S S = P + jQ

ejemplo El voltaje suministrado por la fuente es de 440 a una carga ZL = 10+2j a través de una línea de transmisión que tiene una resistencia total de 1.5 W. Determine a) potencia promedio y aparente suministrada a la carga; b) potencia promedio y aparente perdida en la línea; c) potencia promedio y aparente suministrada por la fuente; d) factor de potencia de la fuente. Vm = 440; ZL = 10+2j; R = 1.5; % a) potencia pormedio y aparente suministrada a la carga I = Vm/(ZL+R); % corriente total Im = abs(I); % amplitud de la corriente VmL = abs(I*ZL); P = real(ZL)*Im*Im % potencia promedio carga PA = VmL*Im % potencia aparente carga % b) potencia pormedio y aparente perdida en la linea Vmlinea = abs(I*R); Plinea = R*Im*Im % potencia promedio linea PAlinea = Vmlinea*Im % potencia aparente carga % b) potencia pormedio y aparente suministrada por la linea Pfuente = real(ZL+R)*Im*Im % potencia promedio fuente PAfuente = Vm*Im % potencia aparente carga % d) factor de potencia Pfuente/PAfuente Respuestas: 14.21 KW, 14.49 kVA; 2.131 kW; 16.34 kW, 16.59 kVA; 0.985 retrasado

Tarea Para el circuito determine la potencia compleja que absorbe: a) el resistor de 1 Ohm, b) el capacitor dr -10j Ohms, c) la impedancia de 5 + 10j Ohms, d) la fuente. +---R1---+-------+ R1 = 1 Ohms | | | R2 = 5 Ohms | R2 | L = 10j Ohms | | | C = -10j Ohms V | C V = 120 Vrms | | | | L | +--------+-------+ Solución: 26.6 + 0j VA; 0 – 1.331j VA; 532 + 1065j VA; -559 + 266j VA.