1 M. en C. Gal Vargas Neri

ESTADISTICA I CSH, Tema III TEMARIO

Distribuciones discretas y continuas

Variable Aleatoria Discreta Variable Aleatoria: resultados de un experimento expresado numéricamente Por ejemplo, Lanzar un dado 2 veces: Contar el número de veces que cae 4 (0, 1, o 2 veces)

Variable Aleatoria Discreta Variable Aleatoria Discreta: Obtenida al Contar (0, 1, 2, 3, etc.) Usualmente toma un número finito de diferentes valores Por ejemplo, Lanzar una moneda 5 veces. Contar el número de caras. (0, 1, 2, 3, 4, o 5 veces)

Probabilidad Discreta Ejemplo de Distribución  Distribución de Probabilidad  Valores probabilidad  01/4 =.25  12/4 =.50  21/4 =.25 Evento: Lanzar 2 Monedas. Contar # Caras. T T TT

Distribución de Probabilidad Discreta  Lista de todos los posibles [ x i, p(x i ) ] pares X i = valores de una variable aleatoria P(x i ) = probabilidad asociada con un valor  Mutuamente exclusivos (nada en común)  Colectivamente exhaustivos (nada queda fuera) 0  p(x i )  1  P(x i ) = 1

Variable Aleatoria Discreta Medidas Sumarias  Valor esperado (La media) Promedio ponderado de la distribución de probabilidad  = E(X) =  x i p(x i ) P.E. Lanzar 2 monedas, contar las caras, calcular el valor esperado:  = 0   .25 = 1 Número de Caras Probabilidad del evento

Variable Aleatoria Discreta Resumen de medidas  Varianza Promedios ponderados del cuadrado de la desviación estándar alrededor de la media   = E [ (x i -  ) 2 ]=  (x i -  ) 2 p(x i ) = E(X 2 )-E 2 (X) P.E. Lanzar 2 monedas, contar las caras, calcular la varianza:   = (0 - 1) 2 (.25) + (1 - 1) 2 (.50) + (2 - 1) 2 (.25) =.50

Probabilidades Discretas Importantes Modelos de Distribución Probabilidad Discreta Distribuciones BinomialPoisson

Distribución Binomial  ‘N’ ensayos idénticos  15 lanzamientos de una moneda, 10 focos tomados de un almacén  2 resultados mutuamente exclusivos en cada ensayo  Águilas o Soles en cada lanzamiento de una moneda, un foco con defecto o sin defecto

Distribuciones Binomiales Probabilidad Constante para cada ensayo: Probabilidad de obtener sol es la misma que cada vez que arrojamos la moneda y cada foco tiene la misma probabilidad de ser defectuoso 2 Métodos de muestreo: Población infinita sin reemplazo Población finita con reemplazo Los ensayos son independientes: Los resultados de un ensayo no afectan los resultados de otros

Probabilidad Binomial Distribución Función P(X) = probabilidad que x tenga acierto dando un conocimiento de n y p X = número de éxitos ejemplo, (X = 0, 1, 2,..., n) p = probabilidad de cada ‘éxito’ n = tamaño de ejemplo caras en 2 lanzamientos de monedas: X P(X) 0 1/4 = /4 = /4 =.25

Características de la Distribución Binomial n = 5 p = 0.1 n = 5 p = 0.5 Media Desviación Estandar   EX np p    () ) X P(X) X P(X) Por ejemplo,  = 5 (.1) =.5 Por ejemplo,  =5(.5)(1 -.5)= (1

Distribución de Poisson  Proceso de Poisson:  Eventos discretos en un ‘intervalo’:  La probabilidad de un éxito en un intervalo es estable  La probabilidad de más de un acierto en este evento es 0  Probabilidad de éxito es independiente de intervalo a intervalo  # Clientes que llegan en 15 min  # Defectos por caso de los focos PXx x x (| !  e -

Función de Distribución de Poisson P(X ) = probabilidad de X éxitos dando =valor esperado(media) número de éxitos e= (base de registros naturales) X=número de éxitos por unidad PX X X () !   e Ejemplo, Encontrar la probabilidad que 4 clientes lleguen en 3 minutos cuando la media es 3.6 P(X) = e ! 4 =.1912

Características de la Distribución de Poisson  = 0.5  = 6 Media Desviación Estandar   i i N i EX XPX      () () X P(X) X P(X)

Covarianza X = variable aleatoria discreta X X i = valor de los resultados ith X P(x i y i ) = probabilidad de ocurrencia de un resultado i- ésimo de X y resultado i-ésimo de Y Y = variable aleatoria discreta Y Y i = valor de los resultados de Y I = 1, 2, …, N

Calculando la media para Retorno de Inversión Retorno de $1,000 para dos tipos de inversiones P(X i Y i ) Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y.2 Recesión-$100 -$200.5 Economía Estable Economía en Expansión Inversión E(X) =  X = (-100)(.2) + (100)(.5) + (250)(.3) = $105 E(Y) =  Y = (-200)(.2) + (50)(.5) + (350)(.3) = $90

Calculando la Varianza de Retorno de Inversión P(X i Y i ) Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y.2 Recesión-$100 -$200.5 Economía Estable Economía de Expansión Inversión Var(X) = = (.2)( )2 + (.5)( ) 2 + (.3)( ) 2 = 14,725,  X = Var(Y) = = (.2)( )2 + (.5)( ) 2 + (.3)( )2 = 37,900,  Y =

Calculando la Covarianza para Retorno de Inversión P(X i Y i ) Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y.2 Recesión-$100 -$200.5 Economía Estable Economía en Expansión Inversión  XY = (.2)( )( ) + (.5)( )( ) + (.3)( )( ) = 23,300 La covarianza de 23,000 indica que de dos inversiones están posiblemente relacionadas y podrán variar juntas dentro de la misma dirección.

La distribución Normal ‘Forma de Campana’ Simétrica Media, Mediana y Moda son iguales ‘Diseminación Media’ Iguales 1.33  Variables aleatorias tienen rangos infinitos. Media Moda Mediana X f(X) 

El Modelo Matemático f(X)=frecuencia de variable aleatoria X  = ; e =  =Desviación estándar de población X=valor variable aleatoria (-  < X <  )  =media de población

Variación de los Parámetros  y , se obtiene Distribuciones Diferentes de Normal. Éstas son un número infinito Distribución Normal

Distribución Normal: Encontrando Probabilidades Probabilidad es el área debajo de la curva¡ c d X f(X)f(X) PcXd( ) ?  

¡Infinidad de Distribuciones Normales significa infinidad de tablas para buscar! ¿Cada distribución tiene su propia tabla? ¿Cuál Tabla?

Estandarización de una variable aleatoria normal  X x 1  x 2 Z z 1 0 z 2 Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada

Asignación de Normalidad Compare las características de los datos con las Propiedades de la Distribución Normal Poner los datos en un arreglo ordenado Encontrar correspondencia con los cuantiles de la Distribución normal estandarizada Dibujar los pares de puntos Ajustar una línea recta

Checar la gráfica normal Z X

Gráficas de Probabilidad Normal Sesgada a la izquierda RectangularU Z X Z X Z X Z X Sesgada a la derecha