EPET Nº 3 Curso: 2º II Tema: División de Polinomios Integrantes: Aranda Carlos, Pérez Mezquida, Damián. Profesor: Hugo Valderrey

División Regla de Ruffini Teorema del resto

División A fin de facilitar la división de polinomios, es conveniente disponerlo como para realizar una división entre números naturales. Hay que ordenar y completar los polinomios. Daremos un ejemplo para dividir P (x) por Q (x) que te mostraremos a continuación. P(x) = 6x4 + 2x2 - 5x + 2 Q(x) = X2 – 3 + 2X Y

- - - - P(x) = 6x4 + 0 x3 +2x2 - 5x + 2 Q(x) = X2 + 2X - 3 Completo y ordeno en potencias decrecientes ambos polinomios. Los dispongo como en una división de números naturales. 6x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 2 X2 + 2 x - 3 6x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 2 x2 + 2x - 3 Para hallar el primer monomio del polinomio cociente, divido 6x4/x2= 6x2 6x2 6x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 2 X2+ 2 x - 3 Multiplico 6x2 por el polinomio divisor para restar del dividendo y obtener el primer resto. - 6x4 + 12x3 – 18x2 6x2 0 – 12x3 + 20x2 1º resto Agrego al resto el monomio siguiente. Divido -12x3 /x2=-12x Obtengo así el segundo monomio del cociente. 6x4 + 0x3+ 2x2 – 5x + 2 x2 + 2x - 3 - - 6x4 + 12x3 – 18x2 6x2 – 12x -12x3 + 20x2 - 5x 6x4 + 0x3+ 2x2 – 5x + 2 x2 + 2x - 3 - Reitero los pasos anteriores. La división concluye cuando el resto es de grado menor que el divisor. 6x4 + 12x3 – 18x2 6x2 – 12x + 44 -12x3 + 20x2 - 5x -12x3 - 24x2 + 36x Cociente 44x2 - 41x + 2 44x2 - 88x +132 Resto -129x + 134

El primer coeficiente queda igual (es -2) Regla de Ruffini La regla de Ruffini es un procedimiento que permite dividir dos polinomios, siempre que el divisor tenga la forma x – a. Por ejemplo, en la división (-2x3 + 5x2 - 4x + 2) : (x – 3) podemos calcular los coeficientes del polinomio cociente mediante la siguiente disposición: Se escriben los coeficientes del dividendo completo y ordenado; -2 +5 - 4 + 2 A la izquierda se escribe a (es 3); + + + El primer coeficiente queda igual (es -2) 3 -6 -3 -21 El segundo coeficientes se obtiene efectuando -2 . 3 y sumando este resultado a 5 (es -1); -2 -1 -7 -19 Resto El tercer coeficiente se obtiene efectuando -1 . 3 y sumando este resultado a -4 (es -7); Por último, multiplicamos -7 . 3 y le sumamos 2; así obtenemos el resto (19). Por lo tanto, el cociente de la división es: -2x2 – x – 7 (es un grado menor que el dividendo) y el resto es -19.

Teorema del resto A veces interesa conocer sólo el resto de una división, no el cociente. P (x) : (x – a) = C (x) y R es el resto P (x) = (x – a) . C(x) + R x = a P (a) = (a – a) . C(x) + R P (a) = R El resto es el valor numérico de P cuando x vale a Por ejemplo, en el caso anterior en el que aplicamos la regla de Ruffini: (-2x3 + 5x2 - 4x + 2) : (x – 3) Si calculamos P (3) = -2 . 33 + 5 . 32 - 4 . 3 + 2 P(3) = -2 . 27 + 5 . 9 – 12 + 2 P(3) = -54 + 45 – 12 + 2 P(3) = -19 que es el resto