Probabilidad Francisco Álvarez González Noviembre 2006 Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales Facultad de Ciencias del Trabajo Francisco Álvarez González Noviembre 2006

EXPERIMENTO ALEATORIO A todo experimento aleatorio , queda asociado un espacio muestral E (conjunto de posibles ocurrencias de ). e1 e2 e3  Lanzar dos monedas e4 Sucesos elementales

E = { } A = { } B = { } C = { } AB = { }   B’ = E-B = { } AB = { } SUCESOS. OPERACIONES E = { } Lanzar un dado A = { } Par B = { } Múltiplo de 3 C = { } Múltiplo de 5 INTERSECCIÓN: Par y múltiplo de 3 AB = { }   Compatibles CONTRARIO: No ser múltiplo de 3 B’ = E-B = { } UNIÓN: Par o múltiplo de 3 AB = { } INTERSECCIÓN: Par y múltiplo de 5 AC = { } =  Incompatibles

N   r  0’5 (Probabilidad) LEY DEL AZAR Cuando el número de experiencias crece indefinidamente, la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse hacia un número fijo (su probabilidad). n r Cara Cruz 1 N = 1 504 496 0’504 0’496 N = 1000 7 3 0’7 0’3 N = 10 49 51 0’49 0’51 N = 100 17 23 0’425 0’575 N = 40 N   r  0’5 (Probabilidad)

{ } { } LANZAMOS UN DADO: Probabilidad de no ser múltiplo de 3 REGLA DE LAPLACE La probabilidad de que ocurra un suceso es el cociente entre el número de situaciones en las que puede ocurrir y el núme- ro total de situaciones posibles (¿frecuencia relativa?). LANZAMOS UN DADO: Probabilidad de no ser múltiplo de 3 { } { }

A’ A A B CONCEPTOS TEÓRICOS Probabilidad del suceso contrario Pr(E) = 1 Pr() = 0 A A’ Pr(A’) = 1 - Pr(A) Probabilidad del suceso contrario A B Pr(A  B) = Pr(A) + Pr(B)

Teorema de probabilidades CONCEPTOS TEÓRICOS Teorema de probabilidades compuestas A - (A  B) B - (A  B) A  B Pr(A  B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A  B) A B

PROBABILIDAD CONDICIONADA Probabilidad condicionada (sabiendo que ...) Teorema de probabilidades compuestas: Pr(A  B) = P(A) . P(B / A) Generalización: Pr(A  B  C) = P(A) . P(B / A) . P(C / A  B) A  B B A Pr (B/A) =

EJEMPLOS

Ser de espadas o de bastos EJEMPLOS Ser de espadas o de bastos

EJEMPLOS Ser de espadas o figura

Ser de espadas sabiendo que es figura EJEMPLOS Ser de espadas sabiendo que es figura

Ser figura sabiendo que es de espadas EJEMPLOS Ser figura sabiendo que es de espadas

19/40 A Directo Ser de bastos o figura EJEMPLOS Al extraer una carta de la baraja española, calcular la probabilidad de que sea de bastos o figura. A Directo Ser de bastos o figura 19/40

Teorema de probabilidades totales EJEMPLOS Al extraer una carta de la baraja española, calcular la probabilidad de que sea de bastos o figura. B Teorema de probabilidades totales 19/40 10/40 + 12/40 - 3/40

3/10 A Directo Es figura de bastos Es de bastos EJEMPLOS Al extraer una carta de la baraja española, calcular la probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos. A Directo Es figura de bastos Es de bastos 3/10

Probabilidades compuestas EJEMPLOS Al extraer una carta de la baraja española, calcular la probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos. B Probabilidades compuestas 3/10 (3/40) / (10/40)

EJEMPLOS Al extraer sucesivamente y sin reposición dos cartas de la bara- ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros. Al extraer sucesivamente y con reposición dos cartas de la bara- ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros.

Extracción simultánea y EJEMPLOS 1 2 3 4 5 Extracción simultánea y extracción sucesiva. SUCESIVA Una azul SIMULTÁNEA Una azul

Extracción simultánea de 4 bolas. EJEMPLOS 1 2 3 4 5 Extracción simultánea de 4 bolas. Análisis de sucesos. Al menos una azul (Alguna azul) CONTRARIO

3 bolas simultáneamente EJEMPLOS 1 2 3 4 5 3 bolas simultáneamente Alguna azul

EJEMPLOS 3 bolas sucesivamente Todas azules Con reposición 1 2 3 4 5 3 bolas sucesivamente Dos de ellas azules Sin reposición Dos de ellas azules Con reposición Todas azules Sin reposición Con reposición

 + A B El reo astuto EJEMPLOS 50 B 49 B 1 B 50 N 49 blancas 50 negras En el lejano reino de Falandia, a los condenados a muerte, el Rey les concedía la posibilidad de salvar la vida, si sacaban una bola blanca de un jarrón con 50 bolas blancas y 50 negras. En cierta ocasión, un condenado a muerte pidió al Rey una gracia especial, que consistía en distribuir las bolas en dos jarrones: uno con 49 bolas blancas y 50 negras. el otro con la bola blanca que quedaba 1 B 49 B 50 N 50 B  + 49 blancas 50 negras 1 blanca A B 50 blancas 50 negras El reo astuto

EJEMPLOS Tomamos una ficha del dominó. Probabilidad De que contenga un número impar de puntos

Lanzamiento de dos dados. EJEMPLOS Lanzamiento de dos dados. Sume un número de puntos que sea múltiplo de tres.

EJEMPLOS Probabilidad de que, en tres desplazamientos, la tortuga alcance la lechuga. 3 6 2 5 1 4

B C A D E EJEMPLOS Grupo H M A 10 20 30 B 20 12 32 C 11 10 21 Un alumno nuevo en el Centro entra al azar en un aula. Probabilidad de que entre en la de su grupo. Grupo H M A 10 20 30 B 20 12 32 C 11 10 21 D 15 15 30 E 17 10 27 73 67 140 E D C B A

Si el número de situaciones contempladas es muy elevado, Sabemos que un avión hace blanco en el objetivo en el 85% de las ocasiones. Si cinco aviones disparan sobre el objetivo, calcular la probabilidad de que sea alcanzado. Probabilidad de ser alcanzado = = Probabilidad de que algún avión dé en el blanco = = Probabilidad de hacerlo 1, 2, 3, 4 o los 5 aviones = = 1- Probabilidad de que no dé ninguno Si el número de situaciones contempladas es muy elevado, abordamos el problema mediante el suceso contrario

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