IES LOS PEDROCHES (Pozoblanco – Córdoba) VECTORES EN EL PLANO IES LOS PEDROCHES (Pozoblanco – Córdoba) Curso 2003-04

El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q P Q

La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por Q R S Vectores de la misma magnitud

Vectores de la misma dirección Vectores en direcciones distintas La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido P Q S R Q P S R S R Vectores de la misma dirección Vectores en direcciones distintas

Vectores Equivalentes Tienen la misma magnitud y dirección Q P S R Definición Geométrica Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes

Representante del vector por el origen de coordenadas Eje y O Eje x Representante del vector por el origen de coordenadas

b a A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así: P(a,b) u O Eje Y O Eje X P(a,b) b u a (a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P

Definición algebraica Un vector es un par ordenado de números reales Dado (a,b)2 se le asocia el vector u así: Eje Y O Eje X P(a,b) b u=(a,b) u a Definición algebraica Un vector es un par ordenado de números reales

Punto P (a,b)2 Vector u=OP Sistema de coordenadas rectangulares en el plano Vector u=OP desde el origen hasta P (a,b)2 Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares

Magnitud o módulo de un vector u Dirección  de u Angulo positivo que forma con el eje X u a b (a,b) Eje Y O Eje X Un vector de módulo uno se llama unitario  El vector nulo (0,0) no tiene dirección

Operaciones con vectores Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y  un número real. Se define el vector: suma u+v como u+v= (x+a, y+b) producto por un escalar  u como  u=(x, y).

Operaciones con vectores Eje Y O Eje X u+ v u v Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que u+v=(x+a,y+b)

Operaciones con vectores Eje Y Eje X y b u+ v u v b x y b x a a x u+v=(x+a,y+b)

Operaciones con vectores Eje Y O Eje X u >0 u u <0 Si u=(x,y),  pruebe gráficamente que u=(x, y)

Operaciones con vectores Eje Y Eje X ? ¿ y u Triángulos semejantes x y u x u=(x, y)

Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados Eje Y O Eje X x y u yj j xi i Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j

Producto escalar Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

Producto escalar Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v=ax+by  Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo  no negativo mas pequeño entre u y v.

Producto escalar Eje X Eje Y /2 Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .  Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2

Propiedades del producto escalar Teorema: Sean u,v vectores en 2 y  un número real, entonces: u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) (u).v = (u.v) = u.( v) u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)

Teorema: Interpretación geométrica: u  v Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo entre ellos, entonces Interpretación geométrica:  v u w= ucos