Funciones Lineales Desarrollo De la(s) Función(es) Lineal(es) de Oferta y Demanda MAEC 2140 Prf. J.L Cotto

Objetivos de Aprendizaje Como suplemento a la teoría de lo que es una función lineal, aprendemos a establecer una ecuación dado los datos relevantes para trabajar su desarrollo. Una vez establecida la función, aprendemos a calcular el punto de equilibrio de forma algebraica.

Desarrollo de las Funciones Puntos a considerar En nuestro mundo de algebra, aprendimos que una linea recta está representada por la ecuación Y = mx + b. Recordemos lo que significa cada término m= la pendiente o inclinación de la recta, o lo que es más relevante aún, la tasa de cambio de la variable dependiente (Y) por cada cambio unitario en la variable independiente (X). b = el intercepto en Y. Esto es, el valor de la dependiente Y, cuando la variable independiente (X) es = 0, ó por donde la recta numérica intersectará el eje de Y en la gráfica.

Desarrollo de las Funciones Puntos a considerar (cont…) En álgebra, aprendimos que los valores de la pendiente podrian ser tanto negativos (-) como positivos (+). Esto es lo relevante para nuestro mundo empresarial. También aprendimos en álgebra, que el intercepto b, puede tambier tomar valores negativos (-), positivos (+) o cero (0), lo cual es lo relevante en nuestro ámbito empresarial.

Desarrollo de las Funciones Puntos a considerar (cont…) Otro punto relevante en nuestra discusión, es que en álgebra aprendimos que se necesitan dos puntos cualesquiera para trazar una gráfica de la línea recta y para calcular la función correspondiente. Dicho todo esto, podemos hacer una transición utilizando las herramientas del mundo algebráico y aplicarlas al mundo empresarial.

Desarrollo de las Funciones Puntos a considerar (cont…) Primero: asumiremos una relación lineal entre precio $P y Cantidades Q en las leyes de Oferta y Demanda. Segundo: vamos a establecer los que dicen las leyes de Oferta y Demanda en nuestro mundo empresarial: a) La Ley de Oferta dice que la cantidad que un productor ofrece varía en forma proporcional ascendente según aumenta el precio $P. En otras palabras, mientras más alto el precio $P, más está el productor dispuesto a ofrecer. b) Esto quiere decir que la pendiente de la gráfica y la ecuación de la función de Oferta tendrán una Pendiente POSITIVA (+).

La Ley de la Oferta Todas las cosas constantes, mientras más alto el precio de un bien o servicio, mayor es la cantidad ofrecida. S Pendiente Positiva (+) $P Q

Desarrollo de las Funciones Puntos a considerar (cont…) c) La Ley de Demanda dice que la cantidad que un consumidor estádispuesto a comprar varía en forma proporcional decreciente según aumenta el precio $P. En otras palabras, mientras más alto el preci $P de un bien menos está el consumidor dispuesto a comprar. d) Esto quiere decir que la pendiente de la gráfica y la ecuación de la función de Demanda tendrán una Pendiente NEGATIVA (-).

La ley de Demanda Todas las demás cosas constantes, mientras más alto el precio de un bien, menor la cantidad demandada por el cpnsumidor D Pendiente Negativa ( -) $P Q

Desarrollo de las Funciones Puntos a considerar (cont…) Ahora podemos hacer la conección entre la forma clásica de una línea recta Y=mx + b y su forma correspondiente en las funciones de oferta y demanda: Función de Oferta Qs = mP ± b (nota que la pendiente es positiva) Función de Demanda QD = -mP ± b (nota que la pendiente es negativa) Nota: ± quiere decir que el intercepto podria ser positivo, negativo o aún cero

Desarrollo de las Funciones Puntos a considerar (cont…) En la funciónes de Oferta y Demanda, ahora notamos que Q es la variable depediente, esto es sería la Y en la ecuación de forma algebraica y el precio $P seria la variable independiente, esto es la X. La razón fundamental es que en el ámbito comercial, las cantidades que ofrecen o demandan tanto los productores como los consumidores, son función del precio $P, no al revés. En En otras palabras Q = f($P)

¿Cómo desarrollamos la Función? Repasemos un ejemplo del ámbito algebraico El primer paso es establecer la pendiente Luego calculamos el intercepto Establecemo la función Podemos sustituir valores de la variable independiente (X) para calcular valores de la variable dependiente (Y)

¿Cómo desarrollamos la Función? Ejemplo algebraico El primer paso es establecer la pendiente • X2, Y2 (4, 18) 1) Pendiente: • X1, Y1 (-4, -6) • 2) Intercepto Escogemos cualquier punto (x, y) y sustituimos en la ecuación Y=mx+b 18 =3(4) + b ; despejamos por b 18-12=b; b = 6 3) Establecemos la función Y = 3m +6 (-7,-15) Pasos: Calcular la pendiente: m Calcular el intercepto: b Establecer la función: Y=mx+b Ahora podemos utilizar la función para calcular cualquier punto que resida en la línea recta Ejemplos: Y = 3(-4) + 6 = -6; uno de los puntos originales Y = 3 (5) + 6 = 21 Y = 3( -7) + 6 = -15 etc..

Desarrollo de las Funciones de Oferta y Demanda Seguimos los pasos establecidos anteriormente En esta ocasión, las variables X y Y serán X = $P : recordar que el precio $P es la variable independiente Y = Q : recordar que Q, la cantidad es la variable dependiente Similar al procedimiento algebraico, necesitamos dos puntos para calcular y establecer la función Los datos nos los proveerá un plan de Oferta y Demanda Un Plan de Oferta y Demanda detalla las relaciones entre los precios y las cantidades

Plan de Oferta y Demanda de un Bien QD QS 20 6000 2000 22 28 32 36 40 4000 8000 En este plan, una vez establezcamos las funciones de Oferta y Demanda, podemos hallar las cantidades ofrecidas y demandadas a los precios estipulados

Desarrollo de las Funciones de Oferta y Demanda(cont…) Oferta: Q = mP + b Calcular la pendiente Nota: la pendiente tiene que resultar positiva. Recordar que $P es la X y Q es la Y en la fórmula de la pendiente 2) Calcular el intercepto Escogemos cualesquiera de los puntos y sustituimos en la ecuación Q = mP + b 2000 = 300(20) + b Depejamos por b 2000 = 6000 + b -4000 = b Establecemos la función Q = 300($P) - 4000

Desarrollo de las Funciones de Oferta y Demanda(cont…) Demanda: Q = mP + b Calcular la pendiente Nota: la pendiente tiene que resultar negativa. Recordar que $P es la X y Q es la Y en la fórmula de la pendiente 2) Calcular el intercepto Escogemos cualesquiera de los puntos y sustituimos en la ecuación Q = mP + b 6000 = -100(20) + b Depejamos por b 6000 = -2000 + b 8000 = b Establecemos la función Q = -100($P) + 8000

Completando el Plan de Oferta y Demanda utilizando las funciones calculadas Q = 300($P) – 4000 Q = 300(22) – 4000 = 2600 Q = 300(28) – 4000 = 4400 Q = 300(32) – 4000 = 5600 Q = 300(36) – 4000 = 6800 Demanda Q = -100($P) + 8000 Q = -100(22) + 8000 = 5800 Q = -100(28) + 8000 = 5200 Q = -100(32) + 8000 = 4800 Q = -100(36) + 8000 = 4400

Plan de Oferta y Demanda de un Bien QD QS 20 6000 2000 22 2600 5800 28 4400 5200 32 5600 4800 36 6800 40 4000 8000

Oferta y Demanda Equilibrio de Mercado S E $P Q

En un mercado en Equilibrio… QS = QD Las cantidades ofrcidas y demandadas son iguales y $Ps = $Pd Los precios de Oferta y Demanda para la cantidad De equilibrio son iguales

¿Cómo calculamos el Punto de Equilibrio? Primeramente debemos graficar las curvas si tenemos el plan de Oferta o Demanda. Muchas veces podemos identificarlo visualmente extrapolando a los ejes correspondientes Pero… como estudiantes serios de Economía, hemos aprendido a que si las curvas de Oferta y Demanda estan representadas por lineas rectas, podemos de forma sencilla, calcular el Punto de Equilibrio en forma algebraica.

Punto de Equilibrio: Forma Algebraica Función de Oferta: QS = 300($P) – 4000 Función de Demanda: QD = -100($P) + 8000

Punto de Equilibrio: Forma Algebraica (cont…) Igualamos las funciones: QS = QD (o vice versa) -100P + 8000 = 300P - 4000 2. Resolvemos por P transponiendo los terminos 100P + 300P = 8000 + 4000 asi que.. 400P = 12000 y P E = $30.00 3. Sustituimos el valor de P calculado en las ecuaciones originales y obtenemos QE QE = -100P +8000 QE = 300P - 4000 = -100(30) +8000 = 300(30) - 4000 QE = 5000 QE = 5000