La derivada Conforme transcurre el tiempo, vivimos inmersos en un constante cambio. A la par que cambia nuestra edad, cambia nuestro aspecto, nuestras capacidades, nuestras posibilidades y hasta nuestro modo de pensar. El calculo diferencial estudia la variación y el cambio en el tiempo, considerando intervalos sumamente pequeños.

El cálculo podrá decirnos cómo cambia la temperatura instante por instante en el interior de un horno cómo cambia la posición de un objeto en movimiento en cada instante como cambia el valor de una moneda en un determinado intervalo

Aprendimos en geometría analítica que podemos calcular la pendiente de una recta m = tan α ¿Qué ocurre ahora en el caso de una curva? ¿Tiene pendiente?

En realidad una curva no tiene pendiente, pero si aproximamos la curva con una recta en un tramo pequeño de ésta, entonces sí tenemos una pendiente aproximada de la curva La pendiente de esta recta que aproxima a la curva en un punto , es la derivada de la función representada por la curva

Definición de la recta tangente Calculo 15 Derivada Definición de la recta tangente Definimos la recta tangente a la curva en el punto P como la posición limite de la recta secante PQ , cuando Q tiende a confundirse con P. Gráficamente se muestra así

Calculo 15 Derivada La Derivada Dada una función f(x) y un punto x0, el valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Sea f(x) una función; la derivada de f(x) con respecto a la variable x se define como la función f’(x) cuyo valor en x es:

Regla de los 4 pasos Para calcular la derivada o coeficiente diferencial se utiliza la regla de los 4 pasos. Sea una función y = f(x) entonces: En la función y = f(x) , se sustituye (x) por (x+ ∆x), determinándose el nuevo valor de la función. y + ∆y = f(x + ∆x) Se resta el valor de la función original del nuevo valor de la función obteniéndose el incremento de la función. ∆y = f(x + ∆x )- f(x)

El incremento de la función (∆y), se divide por el incremento de la variable independiente (∆x)

4) Se determina el límite de ésta razón cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero (∆x 0) el límite resultante es la derivada de la función dada.

Ejemplo obtener la derivada de la función: y = 3x Paso 1 se sustituye (x) por (x+ ∆x), determinándose el nuevo valor de la función. y + ∆y = f(x + ∆x) y + ∆y = 3(x+ ∆x) y + ∆y = 3x +3∆x| Paso 2 Se resta el valor de la función original del nuevo valor de la función obteniéndose el incremento de la función. ∆y = f(x + ∆x )- f(x) ∆y = 3x +3 ∆x – 3x ∆y = 3 ∆x

Paso 3 El incremento de la función (∆y), se divide por el incremento de la variable independiente (∆x) ∆y = 3 ∆x ∆x ∆x ∆y = 3 ∆x Paso 4 se determina el limite cuando el ∆x tiende a cero