Aplicaciones de la derivada Resuelve problemas de optimización aplicando las ideas básicas relacionadas con extremos de funciones de una variable Bloque 4

Aplicaciones de la derivada TEMAS: -Máximos y mínimos -Criterio de la Primera, segunda y enésima derivada para la determinación de extremos locales -Método para la determinación de extremos globales. -Extremos condicionados -Resolución de problemas de optimización

Objetivo El alumno alcanzará desempeños que le permiten reconocer la amplia clase de problemas de la vida real, intrínsecamente relacionados con fenómenos físicos y sociales susceptibles a ser modelados a través de “funciones de una variable” sencillas, continuas y derivables Bloque 4

Tema No. 1 Máximos y mínimos Bloque 4

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Introducción Con frecuencia nos enfrentamos con situaciones en las que necesitamos encontrar el modo mas eficiente para solucionar un problema. Por ejemplo: Un agricultor que requiere escoger la mezcla de cultivos más apropiada para obtener un mejor aprovechamiento de sus tierras. Un médico que desea escoger y aplicar la menor dosis de un medicamento que curará cierta enfermedad. Un fabricante que desea minimizar el costo de distribución de sus productos. Algunas veces, problemas de esta naturaleza pueden formularse de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico de datos. Si es así, los métodos de cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver este tipo de problemas.

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Extremos de una función Los extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global). Extremos Locales o relativos Son los valores máximos o mínimos que toma una función en un punto situado dentro de un intervalo cerrado de la curva. Extremos globales o absolutos Son los valores máximos o mínimos que toma una función en el dominio de la función en su totalidad.

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Extremos globales o absolutos Extremos locales o relativos Extremos de una función

Máximos y mínimos locales Los valores máximos y mínimos locales dentro de un intervalo cerrado del dominio de una función f(x) se definen en base a los siguientes criterios. BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas

Máximos y mínimos Teorema de existencia de máximos y mínimos Para determinar si una función tiene valores extremos dentro de un intervalo debe cumplir con el Teorema de existencia de máximos y mínimos. BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas

Puntos críticos BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Punto crítico: Se les llama puntos críticos a aquellos valores de x en los cuales se podrían ubicar los valores extremos de f(x). Para la determinación de los puntos críticos se pueden utilizar tres criterios.

Puntos críticos BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas

Tema No. 2 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos Bloque 4

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Como ya se mencionó, una de las posibles maneras de determinar los puntos críticos de una función es mediante la evaluación de la primera derivada, ya que en los puntos donde la derivada vale cero se produce una razón de cambio que implica una transición de pendiente positiva a negativa o viceversa, confirmando de este modo la presencia de un máximo o de un mínimo.

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Si f’(x) =0 cuando f(x) pasa de tener pendiente positiva a negativa indica la presencia de un máximo. Si f’(x) =0 cuando f(x) pasa de tener pendiente negativa a positiva indica la presencia de un mínimo.

Ejercicios BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Ejercicios

Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Ejercicios

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BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas TAREA 1 Dada las siguientes funciones: a)Identifique los puntos críticos y encuentre los valores máximo y mínimo en el intervalo indicado. b)Realice la gráfica correspondiente. Formula auxiliar:

Tema No. 3 Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos Bloque 4

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos Hay otra prueba para máximos y mínimos locales que a veces es más fácil que la de la primera derivada. Implica la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios. No se aplica a puntos singulares (cuando la derivada presenta una indeterminación).

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

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Tema No. 4 Aplicaciones de máximos y mínimos Bloque 4

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Aplicaciones de máximos y mínimos

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Aplicaciones de máximos y mínimos Paso 1. Para no utilizar dos incógnitas, despejaremos una de ellas de la ecuación del área y la sustituiremos en la ecuación del perímetro

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Aplicaciones de máximos y mínimos f(15) = 19,844m

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BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Aplicaciones de máximos y mínimos (a)Estime que tan alto llegara la pelota y cuantos segundos le tomara para alcanzar su punto mas alto. (b)Calcule la velocidad instantánea cuando la pelota llega al piso.

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Tema No. 4 Extremos condicionados Bloque 4

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Extremos condicionados Durante el planteamiento de un problema cuya solución implica la determinación de máximos y mínimos nos podemos topar con el hecho de que los extremos no están explícitamente definidos y su determinación queda en función de dos variables. A estos casos se les conoce como extremos condicionados. Planteamiento geométrico. Supongamos una superficie, definida por la función z=f(x,y), y sobre esta superficie tracemos una curva, definida por la ecuación g(x,y)=0. Se trata de encontrar los máximos y mínimos de esta curva espacial. Planteamiento analítico. Se trata de hacer máxima o mínima una función f(x,y) sujeta a una restricción g(x,y)=0. Reducción a una variable: Teóricamente el problema se puede resolver despejando y en la ecuación g(x,y)=0: y=h(x) y sustituyendo en f(x,y) = f(x,h(x)) = k(x), con lo cual el problema se reduce a calcular un máximo o un mínimo de una sola variable. El problema se presenta cuando no es práctico o no es posible despejar una de las variables en la ecuación g(x,y)=0.

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Extremos condicionados Un problema de extremos condicionados consiste en buscar un extremo de una función no sobre cualquier punto de su dominio sino sobre un subconjunto del dominio de la función que puede expresarse como variedad diferenciable.variedad diferenciable Más concretamente consiste en encontrar un máximo (o un mínimo) sujeto a la condición de que el punto donde se produce pertenezca a un cierto conjunto

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Problema de Aplicación con extremos condicionados

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Problema de Aplicación con extremos condicionados

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Problema de Aplicación con extremos condicionados

BLOQUE 4. Aplicaciones de la derivada Ciencias económico-administrativas Criterio de la segunda derivada Problema de Aplicación con extremos condicionados