FUNCIONES

Consideremos dos conjuntos numéricos Conjunto de partida : y1 x1 Conjunto de llegada y2 x2 y3 x3 y4 x4 y5 x5 . . xn yn . . A B

f(x) : y1 x1 y2 x2 y3 x3 y4 x4 y5 x5 . . xn yn . . A B

En este caso se definió una RELACIÓN de A en B

Formas de expresar una relación Diagramas de Venn Enunciado Fórmula Pares ordenados (Tabla) Puntos del plano (Gráfico)

DIAGRAMA DE VENN : -4 -2 -2 -1 1 1 2 3 ½ 2 4 6 7

ENUNCIADO R : “A cada valor de X le corresponde su doble” R : “Y es el doble de X”

y = 2x f(x) = 2x Esto se lee: “la imagen de x” FÓRMULA y = 2x f(x) = 2x Esto se lee: “la imagen de x”

TABLA DE VALORES X f(X) 1 2 4 -2 -4 9 18 0,5 1,25 0,75 -2,5

GRÁFICO

Definiciones Dominio: Es el conjunto de todos los elementos X del conjunto de partida que poseen imagen. Imagen: Es el conjunto de todos los elementos Y del conjunto de llegada que son imagen de algún valor de X

z R ¾ 2 1 4 2 6 3 -2 -1 -4 -2 y Conjunto de partida Conjunto de llegada 2 1 4 2 6 3 -2 -1 -4 -2 Dominio (Dm) Imagen (Im) y ¾ z R

Una función definida de A en B (f : A B) Es una relación en la que: DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función definida de A en B (f : A B) Es una relación en la que:

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Todos los valores de X tienen una imagen Y. (CONDICIÓN DE EXISTENCIA) Cada valor de X tiene una y solo una imagen Y. (CONDICIÓN DE UNICIDAD)

El dominio coincide con el conjunto de partida EXISTENCIA UNICIDAD El dominio coincide con el conjunto de partida

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Son aquellas cuyo Dominio e Imagen con subconjuntos de R, o bien, el mismo R. f: AB / f(x)=y

EJEMPLOS

¿La siguiente fórmula representa a una función?

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES INYECTIVA: Una función es inyectiva si y solo si a cada par de valores distintos de X del dominio le corresponden imágenes distintas.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVA: Una función es sobreyectiva si y solo si todos los elementos Y del conjunto de llegada son imagen de algún elemento X del dominio.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVA: Una función es biyectiva si y solo sí es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplos

Ejemplos

Para que exista la inversa de una función, ésta debe ser biyectiva FUNCIÓN INVERSA: Dada una función f : AB Si existe una relación f -1 : BA y es función, entonces f -1 se llama función inversa de f. Para que exista la inversa de una función, ésta debe ser biyectiva

Ejemplo Sea f: RR / f(x) = 2x+1 Despejamos x Expresamos la nueva función

Intervalos de crecimiento y decrecimiento Intervalos abiertos (a ; b) Intervalos cerrados [a ; b] Intervalos semiabiertos (a ; b] [a ; b)

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es aquella cuya forma es: y = mx +b donde: m es la pendiente b es la ordenada al origen

Si m=0, la función es CONSTANTE f(X)=b

Distintas formas de expresar la ecuaciones de una recta Distintas formas de expresar la ecuaciones de una recta. Forma Explícita : y = mx + b Forma implícita o general: Ax + By + C = 0 Forma segmentaria: x/a + y/b = 1

Condición de paralelismo y perpendicularidad

Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente conocida

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Ejemplos

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f : R  R tal que f(x) = ax2 + bx + c a, b, c  R, a  0

El gráfico de una función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA cuyos elementos principales son:

Eje de simetría Ordenada Al origen Vértice Raíces

Distintas posiciones y formas de la parábola Si a > 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia arriba, en ese caso habrá un MÍNIMO Si a < 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia abajo, en ese caso habrá un MÁXIMO Cuado mayor es el valor absoluto de a, la curva es más cerrada.

Ejemplos: f(x) = x2 +3x – 1 f(x) = –0,5 x2 +3x – 2

Cálculo de la posición de los elementos de la parábola Raíces: Coordenadas del vértice V=(Xv ; Yv)

Ordenada al origen Eje de simetría

Análisis del discriminante  = b2 – 4ac Si  > 0  la función tiene dos raíces reales y distintas, es decir, el gráfico corta al eje x en dos puntos (x1  x2) Si  = 0  la función tiene dos raíces reales e iguales (una raíz doble), es decir, corta al eje x en un punto (x1 = x2) Si  < 0  la función no tiene raíces raíces reales, es decir el gráfico no corta al eje x en ningún punto.

 > 0  = 0  < 0

Ejemplo de aplicación práctica de la función cuadrática

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

f : R+  R tal que: f(x) = logb (x) b  R , b > 0 , b 1 Función logarítmica f : R+  R tal que: f(x) = logb (x) b  R , b > 0 , b 1

Gráfico f(x) = log2 x

Variación del gráfico según la expresión del argumento Base Argumento

f(x) = log2 (x-1)

f(x)= log2(x – 1) f(x)= log2(x + 3) f(x)= log2(x – 3)

Variación del gráfico según el valor de b b< 1 : ejemplo f(x) = log1/2 (x)

FUNCIÓN EXPONENCIAL

f: R  R / f(x) = k.ax + b

f(x) = 2x

Función polinómica f : R  R tal que:

Ejemplos: Graficar la siguientes funciones f(x)= 0,5x2 – 3x + 2,5 f(x) = log2 (2x – 1) f(x) = – 2. 2x + 4