FUNCIÓN POLINOMIAL

OBJETIVOS Definir una función polinomial. Reconocer la función constante, lineal y cuadrática como casos particulares de una función polinomial Identificar el coeficiente principal de una función polinomial. Explorar mediante el uso de recursos tecnológicos un conjunto de gráficas de funciones polinomiales de grado diferente par e impar, donde se relacione su regla de correspondencia con su comportamiento cuando: el número de intersecciones con el eje x intersección con el eje y cambio en el signo del coeficiente principal Multiplicidad de los ceros

Función polinomial

𝑓 𝑥 =3 𝑥 5 + 𝑥 4 −4 𝑥 3 +6𝑥−2 Función polinomial COEFICIENTE PRINCPAL DE UN POLINOMIO: es el coeficiente (diferente de cero) de la máxima potencia que aparece en el polinomio. GRADO DE UN POLINOMIO: es igual al exponente de la máxima potencia con coeficiente distinto de cero 𝑓 𝑥 =3 𝑥 5 + 𝑥 4 −4 𝑥 3 +6𝑥−2 TERMINO CONSTANTE: corresponde a la constante que no está asociada a ninguna potencia. COEFICIENTES: son cada uno de los números que multiplican a las potencias (variables). OJO: En problemas de aplicación podremos utilizar la expresión 𝑥 0 y para estos casos 𝑥≠0

Determina:

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN LINEAL En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: 𝑓 𝑥 =𝑚𝑥+𝑏 El conocimiento de que cualquier ecuación de la forma 𝐴𝑥+𝐵𝑦=𝐶, produce una gráfica en línea recta, junto con el hecho de que dos puntos determinan una línea recta, hace que la graficación de ecuaciones lineales sea un proceso sencillo.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Forma General 𝑨𝒙+𝑩𝒚+𝑪=𝟎 Forma Pendiente – intersección al origen 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 Forma Punto Pendiente 𝑦− 𝑦 1 =𝑚(𝑥− 𝑥 1 ) Recta Vertical 𝑥=𝑎 Recta Horizontal 𝑦=𝑏

Grafique: 𝑦=−4𝑥+1 𝑥+2𝑦=4 𝑦=𝑥+3 𝑦=𝑥 𝑥=5 𝑦=0

Función cuadrática En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑥 2 =36 𝑦 2 +4𝑦=0 3 𝑛 2 +2𝑛−1=0 5 𝑥 2 +𝑥+2=3 𝑥 2 −2𝑥−1

Función cuadrática 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 La gráfica de una función cuadrática corresponde a una parábola vertical con vértice en El punto de intersección con el eje y se obtienen haciendo x = 0. Los puntos de intersección con el eje x, se obtienen haciendo y = 0, quedando 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. Las raíces de la ecuación polinomial se determinan ya sea por factorización o aplicando la formula general 𝑟 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Estos puntos de intersección vendrían siendo 𝐴 1 = 𝑟 1 ,0 𝑦 𝐴 2 =( 𝑟 2 ,0), a estos puntos se le llaman los “ceros de la función”

Complejas (imaginarias) Función cuadrática 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 De acuerdo al estudio del tipo de raíces de la ecuación de segundo grado, estas pueden ser: Reales distintas Raíces Reales iguales Complejas (imaginarias) Esta información la obtendremos analizando el radicando de 𝑟 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2 −4𝑎𝑐 >0 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠 <0 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 =0 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

Función cuadrática

Grafiquemos la función cuadrática Grafique las siguientes funciones cuadráticas. Encuentre los ceros de las funciones: 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 −2𝑥−12 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 +9𝑥+12 𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 −2𝑥−3 𝑓 𝑥 =−7 𝑥 2 −4𝑥+5 𝑓 𝑥 =−5 𝑥 2 +6𝑥−10 𝑓 𝑥 =7 𝑥 2 −8𝑥−2

Funciones polinomiales mayores que 2 𝑓 𝑥 =5 𝑥 3 −2 𝑥 2 +𝑥−4 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3 𝑓 𝑥 =−2 𝑥 4 −5 𝑥 3 +3 𝑥 2 +4𝑥−1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 4 𝑓 𝑥 =3 𝑥 5 +2 𝑥 2 −3 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 5

Gráficas de una función polinomial PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL: Cuando x mueve sin límite a la izquierda o a la derecha, la gráfica de la función polinomial sube o baja de la siguiente manera: Si n es impar: Si el coeficiente principal 𝑎 𝑛 <0 el gráfico cae a la derecha y sube a la izquierda. Si el coeficiente principal 𝑎 𝑛 >0 el gráfico cae a la izquierda y sube a la derecha.

Gráficas de una función polinomial PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL: Cuando x mueve sin límite a la izquierda o a la derecha, la gráfica de la función polinomial sube o baja de la siguiente manera: Si n es par: Si el coeficiente principal 𝑎 𝑛 <0 el gráfico cae de izquierda a derecha Si el coeficiente principal 𝑎 𝑛 >0 el gráfico se eleva de izquierda a derecha

ejemplos Describe el comportamiento de las siguientes funciones polinómicas:

Debido a que el grado es impar y el coeficiente principal es negativo, el gráfico se eleva a la izquierda y cae a la derecha.

Debido a que el grado es par y el coeficiente principal es positivo, el gráfico se eleva a la izquierda y derecha.

Debido a que el grado es impar y el coeficiente principal es positivo, el gráfico cae a la izquierda y se eleva hacia la derecha.

Actividad en clases Encuentra el grado y coeficiente principal. A continuación, defina el comportamiento de él es gráfico usando la prueba coeficiente principal: