Frank Cowell: Microeconomics La Empresa: Demanda y Oferta MICROECONOMÍA Principios y Análisis Frank Cowell Casi esencial Optimización Casi esencial Optimización Prerequisitoss Octubre 2006

Frank Cowell: Microeconomics Nos movemos a partir del óptimo... Vamos a obtener las reacciones de la empresa frente a cambios de su escenario. Vamos a obtener las reacciones de la empresa frente a cambios de su escenario. Estas son las funciones respuesta.. Estas son las funciones respuesta..  Examinaremos tres tipos de ellas  Respuestas a diferentes tipos de eventos de mercado. Tratamos la empresa como una Caja Negra. Tratamos la empresa como una Caja Negra. Precios mercado La empresa Producción; demanda de factores

Frank Cowell: Microeconomics La empresa como una “caja negra” Se puede predecir el comportamiento mediante las condiciones necesarias y suficientes del óptimo Se puede predecir el comportamiento mediante las condiciones necesarias y suficientes del óptimo Las CPO pueden ser resueltas para generar funciones de respuesta de comportamiento Las CPO pueden ser resueltas para generar funciones de respuesta de comportamiento Sus propiedades se obtienen a partir de la función solución Sus propiedades se obtienen a partir de la función solución Necesitamos las propiedades de la función solución… Necesitamos las propiedades de la función solución… …otra vez y otra vez …otra vez y otra vez

Frank Cowell: Microeconomics Contenido... Demanda condicional de factores Oferta de producto Demanda ordinaria de factores El problema en el corto plazo Empresa: Estática comparativa Función respuesta para la fase 1 de optimización

Frank Cowell: Microeconomics La primera función respuesta m  w i z i sujeta a q  f(z), z≥0 i=1 Revisamos el problema de minimización de costos y su solución Encontrar z para minimizar: Cantidad de cada factor minimizador de costos: z i * = H i (w, q), i=1,2,…,m La función de costos de la empresa: C(w, q) := min  w i z i Vector precio de los factores Nivel producción específico {f(z)  q}  H i es la función de demanda condicional de factor.  Demanda del factor i, condicionada al nivel q de producción  La “fase 1” del problema  La función solución Puede ser una función muy bien definida o una correspondencia Aproximación gráfica

Frank Cowell: Microeconomics Graficando en el espacio (z 1,w 1 ) z1z1 z2z2 z1z1 w1w1  Caso convencional para Z.  Se inicia con cualquier valor para w 1 (la pendiente de la tangente a Z).  Repetir para valores menores de w 1. ...y otra vez para obtener... ...la curva de demanda condicional H1(w,q)H1(w,q)  El conjunto restricción es convexo con una frontera suave  La función respuesta es un mapa contínuo: Ahora veamos un caso diferente

Frank Cowell: Microeconomics Otro mapa en el espacio (z 1,w 1 ) z1z1 z2z2 z1z1 w1w1  El caso cuando Z no es convexo.  Se inicia con un valor alto para w 1.  Repetir para valores menores de w 1.  Los puntos “cerca” trabajan de la misma forma.  ¿Pero qué ocurre entre ellos?  Una correspondencia de demanda  El conjunto restricción no es convexo.  La respuesta es un mapa discontinuo : un salto en z*  El mapa tiene múltiples valores en la discontinuidad Diferentes cantidades del factor al mismo precio Ningún precio genera una solución aquí

Frank Cowell: Microeconomics Función de demanda condicional de factor Suponga que existe la función de demanda de factor de valor único. Suponga que existe la función de demanda de factor de valor único. ¿cómo se relaciona con la función de costos? ¿cómo se relaciona con la función de costos? ¿cuáles son sus propiedades? ¿cuáles son sus propiedades? ¿cómo se relacionan con las propiedades de la función de costos? ¿cómo se relacionan con las propiedades de la función de costos? ¿recuerda estas...? Enlace a la función costos

Frank Cowell: Microeconomics Empleo de la función costo ...sí, es el Lema de Shephard ¿recuerda esta relación ? C i (w, q) = z i * Entonces tenemos : C i (w, q) = H i (w, q)  Enlace entre la demanda condicional de factor y la función costo Derivando respecto a w j C ij (w, q) = H j i (w, q) Demanda condicional de factor Segunda derivada  Pendiente de la función de demanda de factor La pendiente:  C(w, q) ————   w i La pendiente:  C(w, q) ————   w i Demanda óptima del factor i Dos simples resultados:

Frank Cowell: Microeconomics Resultado 1 Empleamos la propiedad estandar      ——— = ———  w i  w j  w j  w i  Segunda derivada de una función “commute” Entonces, en este caso C ij (w, q) = C ji (w, q)  El orden de la diferenciación es irrelevante Por lo tanto, tenemos: H j i (w, q) = H i j (w, q)  El efecto del precio del factor i sobre la demanda condicional del factor j es igual al efecto del precio del factor j sobre la demanda condicional del factor i.

Frank Cowell: Microeconomics Resultado 2 Empleamos la relación estandar: C ij (w, q) = H j i (w, q)  Pendiente de la función de demanda condicional de factor obtenida de la segunda derivada de la función costo Podemos obtener el caso especial: C ii (w, q) = H i i (w, q)  Hemos hecho j=i Debido a que la función costo es cóncava: C ii (w, q)  0  Una propiedad general Por lo tanto: H i i (w, q)  0  La relación de la demanda condicional de factor con su propio precio, no puede ser positiva. así...

Frank Cowell: Microeconomics Curva de demanda condicional de factor H1(w,q)H1(w,q) z1z1 w1w1  Considere la demanda por el factor 1  ¿consecuencia del resultado 2? H 1 1 (w, q) < 0  Demanda condicional de “pendiente negativa”  En algunos casos también es posible que H i i =0  Corresponde al caso donde la isocuanta tiene punta: valores diferentes de w son consistentes con el mismo z*. Enlace al grafico con “punta”

Frank Cowell: Microeconomics Para la demanda condicional de factor... Z no convexa genera H discontinua Z no convexa genera H discontinua Los efectos precio cruzados son simétricos Los efectos precio cruzados son simétricos Pendiente negativa de la demanda versus su propio precio Pendiente negativa de la demanda versus su propio precio (caso excepcional: la demanda frente a su propio precio puede ser constante) (caso excepcional: la demanda frente a su propio precio puede ser constante)

Frank Cowell: Microeconomics Contenido... Demanda condicional de factores Oferta de producto Demanda ordinaria de factores El problema en el corto plazo Empresa: Estática comparativa Función respuesta para la fase 2 de optimización

Frank Cowell: Microeconomics La segunda función respuesta De las CPO: p  C q (w, q * ) pq *  C(w, q * )  “Precio igual costo marginal”  “Precio cubre el costo medio” Revisamos el problema de maximización del beneficio y su solución Encontrar q para maximizar: pq – C (w, q)  La “fase 2” del problema q * = S (w, p)  S es la función oferta  (de nuevo esto puede realmente ser una correspondencia) Precio factore s Precio producto Nivel de producción maximizador del beneficio:

Frank Cowell: Microeconomics Oferta y precio del producto Empleamos las CPO: C q (w, q) = p  “costo marginal igual precio” Empleamos la función de oferta para q: C q (w, S(w, p) ) = p  Nos da una ecuación en w y p Derivando respecto a p p C qq (w, S(w, p) ) S p (w, p) = 1  Empleamos la regla de función de función Reordenando: 1. S p (w, p) = ———— C qq (w, q)  Nos da la pendiente de la función de oferta Positiva si el CMg es creciente Derivada de S respecto a P

Frank Cowell: Microeconomics La curva de oferta de la empresa C/q CqCq p q  Curvas de CMg y CMe de la empresa.  Para cada P el óptimo q*  Continuamos para precios menores  ¿qué ocurre debajo de p p _ – q _ |  El caso ilustrado es para una función que tiene, primero, REC y luego RED. La respuesta es un mapa discontinuo: salta en q*  El mapa tiene valores múltiples en la discontinuidad q* múltiples para este precio Ningún precio genera una solución aquí  La respuesta de la oferta está dada por q=S(w,p)

Frank Cowell: Microeconomics Oferta de producto y precio del factor j Empleamos las CPO: C q (w, S(w, p) ) = p Derivando respectoa w j C qj (w, q * ) + C qq (w, q * ) S j (w, p) = 0  De nuevo empleamos la regla de función de función  Como antes: “precio igual costo marginal” Reordenando: C qj (w, q * ) S j (w, p) = – ———— C qq (w, q * )  La oferta de producto debe caer con w j si el costo marginal se incrementa con w j. Recuerda, esto es positivo

Frank Cowell: Microeconomics Para la función de oferta... La curva de oferta tiene pendiente positiva La curva de oferta tiene pendiente positiva La oferta disminuye con el precio del factor, si el costo marginal se incrementa con el precio de ese factor La oferta disminuye con el precio del factor, si el costo marginal se incrementa con el precio de ese factor f(q) no cóncava genera S discontínua f(q) no cóncava genera S discontínua Retornos crecientes a escala significa que f(q) es no concava y entonces S es discontínua Retornos crecientes a escala significa que f(q) es no concava y entonces S es discontínua

Frank Cowell: Microeconomics Contenido... Demanda condicional de factores Oferta de producto Demanda ordinaria de factores El problema en el corto plazo Empresa: Estática comparativa La función respuesta para el problema combinado de optimización

Frank Cowell: Microeconomics La tercera función respuesta  Demanda por el factor i, condicional a la producción q z i * = H i (w,q) q * = S (w, p)  Oferta de producto z i * = H i (w, S(w, p) ) D i (w,p) := H i (w, S(w, p) ) Ahora sustituímos por q * :  Demanda por el factor i (no condicional ) Precio factores Precio producto  Fases 1 y 2 combinadas… Recuerde las dos primeras funciones respuesta:  Vamos a emplear esta relación para un mayor análisis de la respuesta de la empresa al cambio del precio Use this to define a new function:

Frank Cowell: Microeconomics Demanda por i y el precio del producto Tomamos la relación D i (w, p) = H i (w, S(w, p)).  D i se incrementa con p si H i se incrementa con q. ¿por qué? La oferta se incrementa con el precio ( S p >0). Pero también tenemos que, para cualquier q:  El Lema de Shephard de nuevo Sustituímo arriba: D p i (w, p) = C qi (w, q * )S p (w, p)  La demanda por el factor i (D i ) se incrementa con p si el costo marginal (C q ) se incrementa con w i. Derivamos con respecto a p: D p i (w, p) = H q i (w, q * ) S p (w, p) De nuevo la regla de función de función H i (w, q) = C i (w, q) H q i (w, q) = C iq (w, q)

Frank Cowell: Microeconomics Demanda por i y el precio de j Derivamos con respecto a w j : D j i (w, p) = H j i (w, q * ) + H q i (w, q * )S j (w, p) De nuevo, tomamos la relación D i (w, p) = H i (w, S(w, p)). De nuevo la regla de función de función Empleamos de nuevo el lema de Shephar: Empleamos este y el resultado previo sobre S j (w, p) para descomponer en el “efecto sustitución” y el “efecto producto”: “efecto sustitución” H q i (w, q) = C iq (w, q) = C qi (w, q) “efecto product o” C iq (w, q * )C jq (w, q * ) D j i (w, p) = H j i (w, q * )   C qq (w, q * ).

Frank Cowell: Microeconomics Resultados de la fórmula de descomposición  El efecto de w i sobre la demanda del factor j iguala el efecto de w j sobre la demanda por el factor i. Tomamos la relación general: Ahora tomamos el caso especial donde j = i: Ya sabemos que es simétrica i y j. Ya sabemos que esto es negativo o cero  Si w i se incrementa, la demanda por el factor i no se puede incrementar. Obviamente simétrica en i y j C iq (w, q * )C jq (w, q * ) D j i (w, p) = H j i (w, q * )   C qq (w, q * ). No puede ser positivo C iq (w, q * ) 2 D i i (w, p) = H i i (w, q * )   C qq (w, q * ).

Frank Cowell: Microeconomics Cae el precio del factor: efecto sustitución Cambio en costo Curva demanda condicional CaePreciofactor z1z1 w1w1 H1(w,q)H1(w,q) * z1z1  El equilibrio inicial  Cae el precio del factor  Valor para la empresa de la caída del precio, dado un nivel fijo de producto Nivel inicial de precio Nivel inicial de producto Incremento teórico del factor si el nivel de producción permanece constante

Frank Cowell: Microeconomics z1z1 Cae precio del factor: efecto total Change in cost Caeprecio z1z1 w1w1 * z1z1  Equilibrio inicial  Efecto sustitución de la caída del precio del factorl.  Efecto total de la caída del precio del factor ** Precio inicial Demanda condicional para el nivel inicial de producción Curva demanda ordinaria Demanda condicional para el nuevo nivel producción

Frank Cowell: Microeconomics La función de demanda ordinaria... Z no convexa puede generar una D discontinua Z no convexa puede generar una D discontinua Los efectos precio cruzados son simétricos Los efectos precio cruzados son simétricos La pendiente de la demanda en relación a su precio es negativa La pendiente de la demanda en relación a su precio es negativa Algunas propiedades básicas como con la función H Algunas propiedades básicas como con la función H

Frank Cowell: Microeconomics Contenido... Demanda condicional de factores Oferta de producto Demanda ordinaria de factores El problema en el corto plazo Empresa: Estática comparativa Optimización sujeta a la restricción de tiempo

Frank Cowell: Microeconomics El corto plazo... No es un momento en el tiempo pero… No es un momento en el tiempo pero… … se define por restricciones adicionales dentro del modelo … se define por restricciones adicionales dentro del modelo

Frank Cowell: Microeconomics El problema del corto plazo Sujeto a las restricciones estandar: Trabajamos sobre el problema estandar de optimización Encontrar q y z para maximizar q  f(z) q  0, z  0  := pq – m  w i z i i=1 z m =  z m Pero añadimos una condición a este problema:  q es el valor de q para el cual z m =  z m habría sido libremente elegida en el problema no restringido de minimización de costos…

Frank Cowell: Microeconomics La función de costos de corto plazo {z m =  z m } C(w, q, z m ) := min  w i z i C(w, q)  C(w, q, z m ) ~ _  La función solución con restricción de tiempo.  Por definición de la función de costos. Tenemos “=” si q =  q.  CMe corto plazo ≥ CMe largo plazo. CMeCP = CMeLP en q =  q Dividiendo entre q: Curvas de oferta ~ _ Compare con la función de costos ordinaria Demanda de corto plazo por el factor i: H i (w, q, z m ) =C i (w, q, z m ) ~ _  Siguiendo desde el lema de Shephard C(w, q) C(w, q, z m ) _______ _________  q q

Frank Cowell: Microeconomics CMg, CMe y oferta en el corto y largo plazo C/q CqCq q p q  CqCq ~ ~   CMe si todos los factores son variables  Nivel fijo de producción  CMg si todos los factores son variables  CMe si el factor m se mantiene fijo  CMg si el factor m se mantiene fijo  Curva oferta en el largo plazo  Curva de oferta en el corto plazo  La curva de oferta es más parada en el corto plazo  CMeCP toca CMeLP en el nivel dado de producto  CMgCP corta CmgLP en el nivel dado de producto

Frank Cowell: Microeconomics Demanda condicional de factor H1(w,q)H1(w,q) z1z1 w1w1  Curva de demanda original por el factor 1  Demanda condicional con pendiente negativa  La curva de demanda condicional es más parada en el corto plazo. H 1 (w, q, z m ) ~ _  La curva de demanda del problema con la restricción de tiempo.

Frank Cowell: Microeconomics ¿Qué sigue? Analizar la empresa bajo una variedad de condiciones de mercado. Analizar la empresa bajo una variedad de condiciones de mercado. Aplicar el análisis al problema de optimización del consumidor. Aplicar el análisis al problema de optimización del consumidor.