Representación gráfica de funciones explícitas[1]. [1] Funciones explícitas son las que tienen la forma y=f(x), frente a las implícitas en las que no aparece despejada la y. Las funciones explícitas son uniformes, es decir, toman un único valor en cada punto de su Dominio, por lo que sus gráficas no pueden presentar trazos “a dos alturas” sobre un mismo punto de abscisas.

La representación gráfica de funciones requiere el estudio previo de diversos aspectos de la función. Para una representación rápida y esquemática no es preciso estudiar exhaustivamente todos esos aspectos, aunque sí saber elegir aquellos que definan los rasgos más característicos de la gráfica, según sea el tipo de función. A continuación se presentan los diversos aspectos teóricos que podrían estudiarse, junto con unas notas que servirán de ayuda en casos concretos. Los primeros forman parte de los programas de Matemáticas I y II de Bachillerato que cada estudiante debe conocer. En cuanto a las notas, debe comprobar los ejemplos que se presentan y buscar otros similares hasta verificar las afirmaciones que se hacen y añadirlas a sus conocimientos. En la práctica, no encontraremos normalmente las funciones elementales aisladas, sino otras obtenidas mediante operaciones con ellas (suma, resta, producto, cociente y, sobre todo, la composición[1]). Por ello es necesario fijarse en qué medida y de qué modo se “heredan” las propiedades de las funciones elementales en las más complejas de las que forman parte. [1] La función compuesta de otras se define así: f og(x)=f(g(x)). Es una operación que tiene la propiedad asociativa, pero no la conmutativa. Ir a Derivabilidad

1.- Dominio o campo de existencia (D): es el conjunto de valores de x para los que existe f(x). Si no se dice explícitamente otra cosa, (como por ejemplo “Sea la función f(x)= 3x+5, con 1<x<3”, cuyo dominio es evidentemente el intervalo abierto ]1, 3[ ), el dominio será el más amplio subconjunto de R para el cual tenga sentido calcular f(x). En ese caso, el dominio de las funciones elementales es sobradamente conocido[1].   [1]. Las funciones polinómicas tienen D=R. Las racionales están definidas en R excepto en los puntos en que se anule el denominador (=las raíces del polinomio denominador). Las irracionales de índice par no existen allí donde el radicando sea negativo. Las exponenciales (cuya base debe ser siempre positiva y distinta de 1, como 10x, ex, (1/2)x), están definidas en R. Las logarítmicas (cuya base tiene la misma restricción anterior) no existen donde su argumento sea negativo o cero. Las trigonométricas sen x y cos x tienen D=R; tg x y sec x no existen cuando su argumento es múltiplo impar de /2; ctg x y cosec x no existen cuando su argumento es múltiplo par de /2. (El argumento de las funciones trigonométricas debe tomarse en radianes.)

2. - Intersecciones con los ejes 2.- Intersecciones con los ejes. Con el eje OY se obtiene hallando el valor f(0)[1]. Con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0[2].   [1]. Si 0 no pertenece a D, la gráfica no corta al eje vertical. En otro caso siempre habrá un único punto de corte con OY.   [1]. Puede haber desde ninguno hasta infinitos puntos de corte con OX. Recuérdese que las posibles raíces enteras de una función polinómica son los divisores del término independiente; y las posibles raíces racionales son los divisores del término independiente partidos por los divisores del coeficiente del término de mayor grado. Por ejemplo, de 8x3-12x2-2x+3=0 son ±1/2, ±1/4, ±1/8, ±3/2, ±3/4, ±3/8 las posibles raíces fraccionarias (resuélvase). En otros casos puede ser difícil resolver la ecuación. El teorema de Bolzano permite una localización aproximada de las raíces. 1. Dominio

3.-Continuidad. f(x) es continua en a si . Y es continua en un intervalo si lo es en todos los puntos del mismo[1]. Gráficamente la continuidad implica que puede dibujarse la función con un trazo continuo en el intervalo considerado. [1] Las funciones elementales son continuas en su dominio. Por tanto las racionales presentan discontinuidades en los puntos que sean raíces del denominador; de ellos serán evitables aquellos que sean al mismo tiempo raíces (de igual o mayor orden) del numerador; en otro caso la discontinuidad es infinita (ver el punto 6, asíntotas verticales) Una función que presenta discontinuidades de salto finito es E(x), parte entera de x, que se define como el mayor entero que sea menor o igual a x. También son frecuentes las discontinuidades en las funciones “definidas a trozos” (o sea, por fórmulas o condiciones diversas en distintas partes del dominio). Una función sencilla, definida mediante una fórmula, y que presenta una discontinuidad de salto finito es 1. Dominio

f(x) es simétrica respecto al eje OY si f(-x)=f(x) (función par[2]).  4.-Simetrías[1]: f(x) es simétrica respecto al eje OY si f(-x)=f(x) (función par[2]). f(x) es simétrica respecto al punto O si f(-x) = - f(x) (función impar[3]). [1] El conocimiento rápido de la simetría permite estudiar la función sólo para x>0, evitando así errores frecuentes al operar con valores negativos. Luego se dibuja la otra parte de la gráfica simétricamente. Una función puede no ser par ni impar, con lo que no presentará ninguna de las simetrías consideradas. Por otra parte, puede ser simétrica respecto a otro punto o eje. Por ejemplo: si f(x) es par, (o impar), entonces la función g(x) = f(x-a) + b no es par ni impar, pero “hereda” la simetría, aunque desplazada al eje x = a, (o al punto (a, b)).   [2] Típicas funciones pares son cos x y las polinómicas cuyos términos son todos de grado par. Además, si f(x) es par y g(x) cualquiera, también es par g(f(x)); en cambio, f(g(x)) no hereda la paridad de f. [3] Funciones impares típicas son sen x y las polinómicas con todos sus términos de grado impar. Si f(x) es impar, las funciones f(g(x)) y g(f(x)) serán pares, impares, o ninguna de ambas cosas, según lo sea o no la función g(x). 1. Dominio

5.-Periodicidad: f(x) es periódica[1] de periodo T si f(x+T) = f(x). Para representar una función periódica bastará hacerlo entre 0 y T y repetir el dibujo periódicamente. [1] De las funciones elementales sólo son periódicas sen x, cos x, sec x, cosec x, cuyo periodo es 2π; y tg x y cotg x cuyo periodo es π. Otras funciones periódicas son D(x) (parte decimal o fraccionaria de x, que se define así: D(x) = x – E(x)); y también las que se definan explícitamente como tales. Si f(x) tiene periodo T y g(x) es una función afín, o sea, g(x) = ax+b., entonces g(f(x)) tiene periodo T y f(g(x)) tiene periodo T/a .   1. Dominio

6.1-Asíntotas horizontales La recta y=b será una asíntota horizontal hacia la derecha[1] si . La recta y=h será una asíntota horizontal hacia la izquierda si [1] Puede haber una o ninguna asíntota horizontal por la derecha, y lo mismo por la izquierda. Las funciones racionales tienen asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador; en ese caso la asíntota por la derecha y la izquierda es la misma; y será la recta y=0 si el grado del numerador es menor que el del denominador, o la recta y=q, cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado, si numerador y denominador tienen el mismo grado. La exponencial de base mayor que 1 tiene y=0 como asíntota horizontal por la izquierda, mientras que por la derecha no es asintótica ( y al contrario si la base es menor que 1). La función arctg x tiende a por la derecha, y a por la izquierda. 1. Dominio

6.2-Asíntotas verticales    La recta x=l será una asíntota vertical[1] si . Para precisar más se calcula el límite por la izquierda y por la derecha de l. En cualquiera de los casos, si el límite es + el acercamiento a la asíntota es hacia arriba, y si fuese - hacia abajo. [1] No hay un método “a priori” para determinar “a cuánto debe tender x para que f(x) tienda a infinito”. Obviamente serán puntos "sospechosos" aquellos en que la función deja de existir, o sea, los extremos de un dominio abierto, como los enumerados en el punto 1. En ellos habrá que calcular el límite, por la derecha y por la izquierda, en estrecha relación con el estudio del signo de la función. Las funciones racionales son un caso típico de existencia de asíntotas verticales, posibles en los puntos que sean raíces del denominador. En cada raiz el límite infinito suele tener distinto signo a derecha e izquierda (ver el punto 7 sobre el signo de la función). Atención: la existencia de una raíz del denominador no es suficiente para garantizar la asíntota vertical, pues si el numerador también se anula en ese punto, habrá que resolver la indeterminación hasta asegurarse de que el límite es infinito. Otro caso típico se encuentra en las funciones logarítmicas, recordando que , por lo que se trata de una semiasíntota por la derecha (y hacia abajo). Atrás 6.1.

La recta y=mx+n será una asíntota oblícua[1] por la derecha si 6.3-Asíntotas oblícuas La recta y=mx+n será una asíntota oblícua[1] por la derecha si siendo m y n finitos[2]. De forma análoga puede obtenerse la asíntota oblícua por la izquierda (x -∞). [1] Si hay asíntota horizontal, no puede haberla oblícua: de hecho puede haber una asíntota, horizontal u oblícua, o ninguna. Esta consecuencia de la uniformidad de las funciones explícitas es válida hacia la derecha e, independientemente, la izquierda.  [2] El valor de m puede calcularse por la regla de L'Hôpital, hallando el límite de f'(x).Si m resulta infinito no hay asíntota, sino que se trata de una rama infinita, como la de las funciones polinómicas de grado mayor o igual a dos. Si resulta m=0, puede ser la confirmación de una asíntota horizontal ya obtenida o, en otro caso, una rama infinita del estilo de ln x o de . Aún siendo m finito y distinto de cero, si n resultase infinito tampoco habrá asíntota oblícua; es el caso de la función f(x)=x+ln x atrás-

7.- Signo de la función. Los intervalos en que f(x)>0 y aquellos otros en que f(x)<0 se separan por las intersecciones con el eje OX y los puntos de discontinuidad[1] (tales como las asíntotas verticales). El estudio del signo, junto con el campo de existencia y la acotación permite determinar las regiones por las que pasa la gráfica y aquellas otras que son “zonas prohibidas”. [1] Para las funciones racionales, la gráfica suele ir cambiando alternativamente de signo cada vez que se pasa por una intersección con OX o una discontinuidad, pero no ocurre así en los puntos que sean raíces de orden par ya sea en el numerador, en el denominador o en el conjunto de ambos. La mejor manera de no equivocarse es probar con un valor sencillo en cada uno de los intervalos. La información obtenida para una buena representación hace que merezca la pena actuar con cuidado en este punto 1. Dominio

8.-Acotación. f(x) está acotada inferiormente en un dominio D si existe un número k tal que . Y está acotada superiormente si existe k' tal que . Se dice que f(x) está acotada[1] si lo está superior e inferiormente. [1] No hay un método general para determinar si una función está acotada, ni para determinar sus cotas. Pero conviene recordar algunas cosas: -          Las funciones polinómicas de grado par están acotadas inferiormente si el coeficiente del término de mayor grado es positivo, y acotadas superiormente si fuese negativo. -          En particular, el máximo valor de a-x2 es a , y el mínimo de a+x2 es a -          Un radical de indice par es siempre positivo (acotado inferiormente por 0). -          De forma más general, una función cuyo signo sea siempre no-negativo (como x2+1, ex, o |x| ) está acotada inferiormente por 0. -          Sen x y cos x están acotadas entre -1 y 1. Arctg x está acotada entre - y  -          Si f(x)>1, entonces 1/f(x) < 1. -          Una función acotada no puede tener asíntotas verticales ni oblícuas. -          Una exponencial de base mayor que 1 es mayor que uno si su exponente es positivo y menor que 1 si su exponente es negativo. Ocurre lo contrario si la base es menor que 1 . . 1. Dominio

9.- Derivabilidad. [1] f(x) es derivable en a si existe y es finito el Se definen también la derivada por la derecha (h>0) y por la izquierda (h<0). f es derivable en un punto si, y solo si, existen en ese punto ambas derivadas laterales y son iguales. [1] Gráficamente la derivabilidad en un punto indica la existencia de recta tangente en ese punto, y el valor de la derivada indica la pendiente de esa recta; la derivabilidad en un intervalo se traduce en que no hay cambios bruscos en la curvatura de la gráfica, no hay “picos”. La continuidad en el punto es condición necesaria para la derivabilidad. Así pues, en los puntos de asíntota vertical (caso de f(x)=1/x en x=0), que son discontinuidades, no puede existir la derivada. No obstante, el "valor al que tiende la función derivada" en esos puntos, que es "infinito" concuerda con el hecho de que la pendiente de la asíntota es "infinita". Pero una función puede ser continua y no derivable, como ocurre con |x| en el punto 0: las derivadas laterales no coinciden. Un caso que vale la pena analizar es el que puede ejemplificar la función que es continua en cero, presenta una curvatura suave, incluso existe recta tangente (vertical), pero no es derivable en ese punto (la derivada por la derecha y por la izquierda resulta +∞).

10. Crecimiento, y decrecimiento f(x) es creciente[1] en un punto a si existe un entorno E(a) tal que, para todo par de puntos, x, x’ pertenecientes al E(a), si x<x’ implica f(x) es menor o igual que f(x’) Se verifica que si existe la derivada y es positiva ( f'(a)>0), entonces f es estrictamente creciente en a, o sea, la recta tangente en el punto a va hacia arriba. Análogamente se define f(x) es decreciente en un punto a ... ... ... si x<x’ implica f(x) es mayor o igual que f(x’) Y si f'(a)<0, entonces f es estrictamente decreciente en a, o sea, la recta tangente en el punto a va hacia abajo. [1] La definición de f creciente está hecha en sentido amplio y se traduce gráficamente en que la función "no baja" en un entorno de a. Puede darse también la definición de f estrictamente creciente en a, poniendo f(x)<f(x’), lo que gráficamente se traduce en que la función "sube" en el entorno de a.

11.  Monotonía[1] A).   f(x) es monótona creciente o simplemente creciente en un intervalo si la condición “si x<x’ entonces f(x) es menor o igual que f(x’)” se cumple para todo par de puntos del intervalo. (Gráficamente la función “no baja”) Se verifica que si entonces f es monótona creciente en [a,b]. B). f(x) es monótona decreciente o simplemente decreciente en un intervalo si la condición “si x<x’ entonces f(x) es mayor o igual que f(x’)” se cumple para todo par de puntos del intervalo. (Gráficamente la función “no sube”) Si entonces f es monótona decreciente en [a,b] [1] Con las definiciones que se dan, una función constante es monótona creciente y monótona decreciente a la vez. Las condiciones x<x’ implica f(x)<f(x’) , y, x<x’ implica f(x)>f(x’) respectivamente significan funciones crecientes y decrecientes en sentido estricto, y no las cumplen las funciones constantes.

12.1   Máximos y mínimos (I)       f(x) tiene un máximo relativo[1] en el punto a si en un E(a) se cumple Se verifica que si f tiene un máximo o un mínimo en a y existe[2] f’(a), entonces f’(a)=0 [1] No hay acuerdo general a la hora de tratar una función definida en un intervalo cerrado [a,b] cuando se consideran los extremos del mismo. Para algunos, ninguna función puede alcanzar un máximo o mínimo relativo en tales puntos, ya que no se puede hablar de su comportamiento en un entorno de los mismos, pues la función "desaparece al otro lado". Pero parece más razonable modificar la definición como caso excepcional para poder aplicarla a los extremos de un intervalo cerrado: tomando semientornos por la derecha en a o por la izquierda en b. Un caso curioso, para alimentar ese debate, es el que puede ejemplificar la función que no tiene máximo relativo en 0, aunque sí lo tendría considerándola definida en cualquier intervalo con extremo superior en 0.   [2] No debe simplificarse erróneamente esta propiedad identificando "existencia de máximo o mínimo en a" con "f'(a)=0". Primero, porque puede existir un máximo o mínimo sin que la función sea derivable en ese punto y, segundo, porque f'(a)=0 solo implica la existencia de un "punto con tangente horizontal", que puede ser máximo, mínimo o punto de inflexión. Sendos ejemplos, en D=[-1,1]: f(x)=|x| , y f(x)=x3.

12.1  Máximos y mínimos (II)       f(x) tiene un máximo absoluto en un intervalo, I, si existe un punto a del intervalo tal que .Esta definición sí es generalizable a todo el dominio, D, y entonces se habla simplemente de “el máximo de la función”, o sea, con un determinante en singular y sin especificativo. De manera análoga se definen los conceptos de mínimo relativo y absoluto. La definición proporciona un criterio para determinar si una función tiene un máximo[1] o mínimo en un punto. Ese criterio puede usarse con todo tipo de funciones, aunque no sean derivables ni siquiera continuas[2]. [1] Si no se especifica nada debe entenderse relativo.   [2] Para funciones continuas en a y derivables en un entorno reducido de a (o sea, excluyendo al propio punto a, donde puede no ser derivable) puede usarse otro criterio, el del signo de la derivada: si f'(x)>0 en un semientorno a la izquierda de a y f'(x)<0 en un semientorno a la derecha, la función tiene un máximo relativo en a. Análogamente se establece la condición de mínimo. atrás

13. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión. Diremos que f es cóncava en un intervalo si para todo par de puntos de ese intervalo el arco de la curva está por encima de la cuerda, o sea, . Y diremos que es convexa en el intervalo si para todo par de puntos del mismo, el arco está por debajo de la cuerda, o sea, [1]. Diremos que f es cóncava en un punto si existe un entorno de dicho punto en el cual es cóncava. Análogamente para la convexidad en un punto. Diremos que f tiene un punto de inflexión en (a, f(a)) si en ese punto cambia de curvatura, es decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa[2]. [1] En algunos libros aparecen al revés los conceptos de cóncavo y convexo. Todo depende del punto de vista: en nuestro caso miraremos la gráfica desde abajo si se quiere dar a esos términos el sentido que tienen en el lenguaje habitual.   [2] En un punto de inflexión no tiene que anularse la derivada, ya que un punto de inflexión no es necesariamente horizontal, como puede verse en y=sen x cuyos puntos de inflexión tienen pendiente 1 ó -1. Incluso puede haber puntos de inflexión con tangente vertical, como ocurre con

14.   Cuadro general para el análisis de máximos, mínimos y puntos de inflexión de funciones derivables sucesivamente. Derivabilidad