UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO Habilidades Lógico Matemáticas Facilitadora: Lic. Mat. Patricia Isabel ,Aguilar Incio

Objetivo de hoy Determinar cuando una expresión o un diagrama representa una función Diferenciar los tipos de funciones Bosquejar la gráfica de una función Determinar el Dominio y el Rango de Funciones

Revisión de Algunos Conceptos Función y Relación Dominio y Rango de una Función Sistema de Coordenadas Cartesianas Función: Constante, Lineal, Cuadrática, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Racional. Gráfica de Funciones por tablas Gráfica de funciones con software

Funciones Reales

FUNCIÓN REAL Una función es una regla f,que asigna a cada número de entrada “x ∈ X” exactamente un número de salida “y ∈Y”. Al conjunto de números de entrada X a los cuales se les aplica la regla se le llama dominio de la función. El conjunto de números de salida Y es llamado el rango. En este curso X e Y serán subconjuntos de R (conjunto de los números reales) Ejemplo:

Elementos básicos en el estudio de una función. DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA RECORRIDO o IMAGEN GRÁFICA o GRAFO

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

RECORRIDO o IMAGEN El recorrido es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar y, los cuales son imagen de algún valor x

GRÁFICA o GRAFO

Funciones Lineales: y = mx + n Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Todas las funciones polinómicas tienen dominio 2ª) y = x + 3 1ª) y = x 3ª) y = x - 2 Comenzamos mostrando los casos más sencillos de funciones lineales, empezando por y = x, y añadiendo ordenadas en el origen distintas. Se pretende hacer observar el efecto de desplazamiento lateral que produce la transformación f(x+c), a la izquierda si c>0 y a la derecha si c<0. En este caso concreto también puede interpretarse como desplazamiento vertical: f(x) + c. Hacia arriba si c>0 y hacia abajo si c<0

A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal 1ª) y = 2x +1 D f = 2ª) y = 5x +1 3ª) y = (1/3)x +1 Se muestran tres ejemplos manteniendo la misma ordenada en el origen y cambiando los valores de las pendientes para llamar la atención sobre el papel de la ordenada en el origen: Lo que no cambia en la ecuación (n = 1), permanece fijo en la gráfica: Todas pasan por (0, 1) A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal Ordenada en el origen no cambia

D f = 1ª) y = -3x + 1 2ª) y = -3x + 5 3ª) y = -3x + 2 Se mantiene ahora fija la pendiente y se va cambiando la ordenada en el origen. Al mismo tiempo que se destaca el papel de cada uno de los coeficientes, ahora hemos tomado una pendiente negativa para recalcar el efecto de dicho valor en contraste con los ejemplos anteriores Igual pendiente: paralelas Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

R f =  RESUMEN: Funciones lineales: y = mx + n Se muestra el resumen general: Todas las funciones lineales tienen dominio y recorrido , y su gráfica es una recta. Se hace resaltar que el dominio se puede observar mediante la proyección de la gráfica sobre el eje horizontal y el recorrido la proyección sobre el eje vertical Destacar el caso en que la pendiente es 0, en que el recorrido es {n} D f = R f = {-2} ¡Ojo! Si m=0, R f = {n}

Ver ejemplo en geogebra

Ejemplos de aplicaciones de la función lineal: A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante) C) Dilatación: L = L0(1 + kt) D) DEMANDA LINEAL, OFERTA LINEAL, DEPRECIACIÓN LINEAL, COSTO.

Funciones cuadráticas y = ax2 + bx + c Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Como todas las funciones polinómicas D f = Ahora observamos la gráfica con toda su significación Las claves están en los siguientes elementos: Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es significativo y que puede llamar a confusiones Cambiamos el rango de representación y observamos las variaciones que se producen Cortes con el eje OX Vértice

Funciones cuadráticas D f = y = ax2 + bx + c Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática: 1. Hallar los puntos de corte con el eje OX ax2 + bx + c = 0  x1 y x2  (x1, 0) y (x2, 0) 2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv) 3. Completar, si es necesario, con una tabla Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = 1) y = x2 -8x - 9 R f = [-25, +) Vértice (4, -25)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX Obsérvense los coeficientes de x2 V(2, -9) R f = [-9, +) V(2, -5) R f = [-5, +) V(2, -20) R f = [-20, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = y = x2 - 3x + 2 y = 3x2 + 2x +1 y = 20x2 - 20x + 5

Rf = (-∞, xv] Ejemplos de funciones cuadráticas D f = Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo: y = - 3x2 – x + 2 ¡Ojo! En este caso: Rf = (-∞, xv] y = - x2 + 7x - 10 y = - 3x2 + x - 2

Ejemplo con GEOGEBRA