Igualdad por copia de ángulos Dos figuras son iguales cuando tienen sus lados y ángulos iguales y dispuestos en el mismo orden. Igualdad por copia de ángulos Dado el polígono ABCDE 1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB 2. Con centro en B’ se traza un ángulo igual al B 3. Se transporta el segmento B’C’ = BC 4. Se repite la operación con todos los vértices

Igualdad por coordenadas Dado el polígono ABCDE 1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y 2. Se proyectan los vértices sobre el eje X 3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y 4. Se trazan perpendiculares a X’ e Y’ 5. Se unen los vértices hallados

Igualdad por radiación Dado el polígono ABCDE 1. Se elige un punto O y se une con los vértices del polígono 2. Con centros en O y O’ se trazan dos circunferencias del mismo radio 3. Por copia de ángulos se trazan las rectas que parten de O’ 4. Sobre cada recta se llevan las distancias O’A’, O’B’, etc

Igualdad por triangulación Dado el polígono ABCDE 1. Se une un vértice con todos los demás 2. Por copia de triángulos se construyen todos los que se han formado

Teorema de Tales. División de un segmento en partes iguales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento 3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado 4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, ... de la recta s.

División de un segmento en partes proporcionales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de los segmentos CD, EF, GH e IJ 3. Se une el último punto J con el otro extremo B mediante la recta t. 4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I

Producto y división entre dos segmentos 1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A Producto entre dos segmentos 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento unidad AC y a continuación el segmento CD A B C D A r s D 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 1 C 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados B E 1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A División entre segmentos A B 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento AC y a continuación el segmento unidad CD A C r A s 1 D C 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados B E

Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada Dado el segmento AB A B 1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a continuación el segmento unidad BC E 2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y trazamos semicircunferencia de diámetro AC 3. La perpendicular al diámetro por el punto B corta a la semicircunferencia en el punto E C 1 A B D 4. El segmento BE es la raíz cuadrada del segmento AB

Media proporcional 1. Sobre una recta se trasladan los segmentos dados 2. Se traza el punto medio E del segmento AD y la semicircunferencia de radio EA 3. La perpendicular trazada por B a la recta r corta a la circunferencia en el punto F 4. El segmento BF es la media proporcional a los segmentos dados.

Tercera proporcional 1. Se trazan dos rectas r y s que se corten 2. A partir del punto A se lleva AB sobre r y CD sobre s 3. Con centro en A y radio AD se describe un arco 4. Por el punto E se traza la paralela a BD 5. El segmento AF es la tercera proporcional

Cuarta proporcional 1. Se trazan dos rectas r y s cualesquiera que se corten 2. A partir del punto A se lleva AB sobre la recta r y CD sobre la recta s 3. Sobre la recta r y a continuación del segmento AB se traslada EF 4. Por el punto F se traza la recta paralela a BD 5. El segmento DG es al cuarta proporcional

Potencia de un punto Potencia de un punto Eje radical Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD

Eje radical de dos circunferencias (I) Circunferencias secantes Se determina uniendo los dos puntos A y B de intersección de ambas circunferencias

Eje radical de dos circunferencias (II) Circunferencias tangentes Se determina trazando la recta tangente común a ambas circunferencias

Eje radical de dos circunferencias (III) Circunferencias exteriores 1. Se dibuja una circunferencia auxiliar secante con las anteriores 2. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O1 3. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O2 4. Por el punto E se traza la perpendicular al segmento O1O2

Centro radical de tres circunferencias Dadas tres circunferencias e 1 O e' O O 2 O 3 1. Se halla el eje radical e de las circunferencias de centro O1 y O2 2. Se halla el eje radical e’ de las circunferencias de centro O2 y O3 3. El centro radical O se localiza en la intersección de los ejes radicales hallados

Semejanza directa por radiación Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. A la relación entre los segmentos proporcionales se le llama razón de semejanza. Semejanza directa por radiación Dado el polígono ABCDE Sea la razón de semejanza 2/3 1. Se elige un punto O y se une con todos los vértices 2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman tantas partes como indique el numerador (2) 3. A partir del punto A’ se trazan paralelas

Semejanza por coordenadas Dado el polígono ABCDE 1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y 2. Se proyectan los vértices sobre el eje X 3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y 4. Sobre dos nuevos ejes se llevan las distancias O’C’x = 2/3(OCx), O’C’y = 2/3(OCY), ... 5. Se trazan perpendiculares a X e Y 6. Se unen los vértices hallados

Semejanza inversa por radiación Dado el polígono ABCDE Sea la razón de semejanza -2/3 1. Se elige un punto O y se une con todos los vértices 2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman, en sentido contrario, tantas partes como indique el numerador (2) 3. A partir del punto A’ se trazan paralelas

Escala gráfica 1. Sobre una cartulina se trazan dos rectas paralelas El objeto real se mide siempre con la regla natural (E.1:1) 2. Se trasladan tantas unidades reducidas como quepan En el dibujo se mide con la escala gráfica Se hace coincidir el extremo derecho del segmento con una división entera 3. La primera división se divide en diez partes iguales (contraescala) Los decimales se observan en la contraescala gráfica 4. Se numeran todas las divisiones

Escala transversal 1. Sobre una recta r se construye una escala gráfica 2. Se trazan 10 rectas paralelas a r con distancias iguales entre sí 3. Se trazan perpendiculares a r por los puntos de división de la escala gráfica 4. En las contraescalas de la primera y última paralelas se unen los puntos 1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, etc Para medir, las unidades se observan en la escala gráfica, las décimas en la contraescala inferior y las centésimas en el número de la paralela

Triángulo universal de escalas 1. Se construye un triángulo de manera que uno de los lados quede dividido en 10 cm 2. Se une cada uno de los puntos de división con el vértice opuesto A 3. Otro de los lados se divide en diez partes y se trazan paralelas al primer lado, donde van formándose las diversas escalas 4. Por debajo de la escala natural se forman las escalas de ampliación