Bayesian Procedure For Testing Independence of Two Factors in rxs Contingency Tables Beatriz González-Pérez, Juan Padilla 1, and Luis Sanz Departamento de Estadística e Investigación Operativa, Facultad de Ciencias Matemáticas, Universidad Complutense de Madrid, Spain 1 Departamento de Administración y Dirección de Empresas, Facultad de CC. Jurídicas y Económicas, Universidad Camilo Jose Cela, Spain Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz1 WORKSHOP MÉTODOS BAYESIANOS, 2014 Madrid, 6 y 7 de Noviembre

1.- INTRODUCCIÓN Las tablas de contingencias son usadas en múltiples problemas de inferencia estadística y en diferentes contextos. Sobre todo cuando queremos contrastar la independencia 1.2- Tablas de Contingencia Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz2

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1.2- El Problema El espacio paramétrico quedaría de la siguiente forma: Y las distribuciones marginales de probabilidad: Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz4

La Hipótesis general a contrastar quedaría: Es decir, la probabilidad conjunta será igual al producto de las marginales. [1] Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz5

2.- APROXIMACIONES FRECUENTISTA Y BAYESIANA 2.1- El p-valor [2] Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz6

2.2- Probabilidad Final [3] Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz7

[5] Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz8 [4] Que se corresponde con la probabilidad a posteriori de la hipótesis nula puntual con una distribución a priori de tipo mixto.

2.3- Conflicto Frecuentista-Bayesiano Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz9

3.- PROCEDIMIENTO BAYESIANO PARA CONTRASTAR LA INDEPENDENCIA EN TABLAS r x s Para todo el desarrollo del epígrafe siguiente utilizaremos distribuciones a priori sobre la alternativa de Dirichlet con rxs hiperparámetros, que puede ser escrita como sigue: [6] Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz10

3.1.- Caso 1. Probabilidades marginales conocidas. Método I.1 Elegimos una Dirichlet como en [6] para H 1, entonces la distribución mixta viene dada por: [7] La probabilidad final de la hipótesis nula obtenida a partir de [5]: Donde [8] Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz11

3.2.- Caso II. Marginales desconocidas. Método II.1 [9] Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz12

Entonces la distribución mixta quedará: [10] La probabilidad final de la hipótesis nula obtenida a partir de [5]: Donde: [11] Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz13

Método II.2 Obteniendo el supremo de la probabilidad final de la hipótesis nula obtenida a partir de [5]: [12] Donde: Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz14

4.- APLICACIONES Un Caso Real, Cabras Sierra de Guadarrama. De una población de 531 cabras de la sierra de Guadarrama, se ha obtenido una muestra aleatoria de 149 cabras para estudiar si la edad de las cabras está relacionado con el género. Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz15

πoπo B0B0 B1B1 B2B2 0,10,00000,00020,2508 0,30,00000,00080,5635 0,50,00000,00190,7508 0,70,00000,00450,8754 0,90,00000,01720,9644 El p-valor obtenido a partir de [2], es 0,0000 tanto en con marginales conocidas como con desconocidas, es decir que se rechaza la independencia. Computando la probabilidad final con los métodos desarrollados en este estudio para diferentes π o y con densidades uniformes, es decir asignado el valor 1 a todos los hiperparámetros de las Dirichlet utilizadas, nos quedaría: Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz16 De la tabla 4 obtenemos que la distribución marginal de las filas es y la de las columnas.

4.2.- Independencia, Dependencia Estadística y Dependencia Funcional Las tablas 6, 7, 8 muestran casos de Independencia, Dependencia Estadística y Dependencia Funcional para un ejemplo entre fumadores y enfermos de cáncer. Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz17

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4.3.- Análisis Exacto Se han computado todas las tablas 2x2 de tamaño 40, seleccionando aquellas en cuyas celdas las frecuencias esperadas son superiores a 5, de tal manera que se pueda calcular sin problemas el estadístico Chi-2. En el primer método dónde las marginales son conocidas (suponiendo ambas (0,5; 0,5)) se ha calculado la probabilidad final de la hipótesis nula y el p-valor. Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz20

Se ha realizado el mismo estudio con el método II, ahora suponiendo marginales desconocidas: Se ha comprobado el que le coeficiente de correlación lineal es alto y positivo en todos los casos (0,79, 0,68, 0,88) respectivamente. Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz21

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5.- COMPARACIÓN CON EL MÉTODO FRECUENTISTA 5.1- Caracterización del Teorema Aplicando el teorema desarrollado en (Gómez-Villegas y González-Pérez, 2013), podemos encontrar para que valores de π 0 existe acuerdo entre el p-valor y la probabilidad final. Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz26

5.1- Aplicación a las Tablas 2x2 de Tamaño 40 Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz27

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6.- CONCLUSIONES 1.- La primera conclusión que hemos obtenido es que el tamaño de la muestra n importa al calcular la probabilidad final. Además se suele decir que el p-valor es más conservador que la probabilidad final, ya que rechaza cuando encuentra suficiente evidencia en contra de la hipótesis nula. En el caso de la dependencia estadística que se ha estudiado se ha podido comprobar que en algunos casos la probabilidad final rechaza y el p-valor acepta. 2.- Se ha comprobado que los métodos II.1 y II.2 discrepan más con el p-valor que el método I, sobre todo el método II.2, como se ha podido ver en las tablas 9 y 10. Siendo este el más conservador, teniendo sentido ya que está utilizando el supremo de la probabilidad final. 3.- Se ha visto que es posible, aplicando el teorema descrito en el apartado 5.1, alcanzar acuerdo para el p-valor y la probabilidad final. En este sentido nosotros lo hemos encontrado en el método II.1 con un α=0,01 y un π 0 =0,93. Bayesian procedure for testing independence of two factors in rxs contingency tables Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz29

REFERENCIAS Beatriz González Pérez, Juan Padilla, Luis Sanz30

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