MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO TEMA 7 - DERIVADAS MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA 1.1 TVM en funciones lineales La TVM indica la variación de la función por cada x, es decir: el ritmo, la rapidez, la velocidad de variación. El signo indica si aumenta (+) o disminuye (-) y el valor indica cuánto aumenta o disminuye.

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA 1.2 TVM en cualquier función Ejemplo 1: TVM de f(x) entre 1 y 2: TVM de f(x) entre -1 y 2: PROBLEMA: La TVM sólo tiene en cuenta el valor inicial y el final. Es transparente a lo que ocurre durante.

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA 1.2 TVM en cualquier función Ejemplo 2: Los beneficios de una empresa, en millones de euros, vienen dados por la función f(x), donde x son los años transcurridos desde su fundación (0 ≤x≤10). TVM de f(x) entre 0 y 10: Crece a un ritmo de 0,45 millones de € cada año. (0,45 mill€/año) TVM de f(x) entre 0 y 6: Crece a un ritmo de 0,09 mill€/año TVM de f(x) entre 6 y 10: Crece a un ritmo de 1 mill€ cada año.

1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA 1.2 TVM en cualquier función La TVM tiene en cuenta dos puntos, es decir, un intervalo, e ignora lo que ocurre en medio. Nos dice la media de crecimiento (o decrecimiento) de la función entre esos dos valores. Sin embargo, si se desea saber a qué ritmo crece (o decrece) una función en un punto determinado y no perder información, hay que usar un intervalo cada vez más pequeño. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA Ejemplo anterior: Los beneficios de una empresa, en millones de euros, vienen dados por la función f(x), donde x son los años transcurridos desde su fundación (0 ≤ x≤10). ¿Cuál era el ritmo de crecimiento de la empresa en el año 6? Para h=4 Para h=2 Para h=1 Para h=0,5 Para h=0,1 En el año 6 la empresa crece, exactamente, a un ritmo de 0,2 millones de € cada año. PROCESO

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA El proceso de calcular la tasa de variación media en un intervalo cada vez más pequeño, ínfimo, se puede llamar tasa de variación instantánea o DERIVADA. La derivada indica el ritmo de variación instantáneo de una función en el punto x=a. Es decir, a qué ritmo crece o decrece una función en ese punto determinado. Geométricamente: El valor de la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto. m=0,2

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA Ejemplo 1: ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3? Para h=3 Para h=1 Para h=0,5 Para h=0,1 Para h=0,01 A medida que el intervalo se hace más pequeño, la tasa tiende a ser 4. Es decir, en x=3 , f(x) crece a un ritmo de 4 por cada aumento de x.

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA Ejemplo 1: ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3? Calculando de forma correcta el límite cuando h tiende a cero, se obtiene de forma exacta la derivada de la función en x=3.

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA Ejemplo 1: ¿Cuál es el ritmo de crecimiento de f(x) en x=3? SIGNIFICADO: f(x) en el punto x=3 está creciendo a un ritmo de 4 unidades por cada x. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO: La tangente de f(x) en el punto x=3 tiene una pendiente de 4.

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son las semanas transcurridas. a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la clientela a las 2 semanas? En la segunda semana, la clientela crece a un ritmo de 4 clientes/semana. Geométricamente, 4 es la pendiente de la recta tangente a la función en x=2.

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son las semanas transcurridas. b) ¿Qué diferencia hay entre f(2) y f’(2)? En la segunda semana la clientela es de 5 clientes. En la segunda semana la clientela crece a 4 clientes por semana.

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA Ejemplo 2: El número de clientes de un hostal siguen la función f(x), donde x son las semanas transcurridas. c) ¿Cuál es la tasa de crecimiento para un valor genérico x, es decir, f’(x)? Para cualquier valor x, la derivada de la función se calcula como 2x.

2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: LA DERIVADA La función que proporciona la derivada de una función en cualquier punto x se llama función derivada f’(x), y se calcula como: f’(x) indica el ritmo de variación instantáneo de una función en cualquier punto x. Geométricamente: f’(x) es la función de pendientes de f(x).

3. REGLAS DE DERIVACIÓN

3. REGLAS DE DERIVACIÓN 3.1 REGLAS BÁSICAS 3.2 DERIVADAS ELEMENTALES

3. REGLAS DE DERIVACIÓN 3.2 DERIVADAS ELEMENTALES

4. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS

4. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS Ejemplo 1: ¿Es f(x) continua en x=2? Sí. Los límites laterales coinciden con el valor de f(2). ¿Es f(x) derivable en x=2? No. La derivada por la izquierda de x=2 es negativa y por la derecha es positiva. Por tanto, no coinciden las derivadas laterales. PUNTO ANGULOSO

4. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES A TROZOS Estudia la continuidad y la derivabilidad en x=2 Ejemplo 2: CONTINUIDAD: 1ª: 2ª: 3ª: Continua en x=2 DERIVABILIDAD: Derivable en x=2

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5.1 Ecuación de la recta tangente a una función en un punto Ejemplo: a) Recta tangente en x=-2 b) Recta tangente en x=0 c) Recta tangente en x=1

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5.2 Monotonía y extremos relativos de una función Cuando f(x) crece, f’(x) es positiva. Y cuando f(x) decrece, f’(x) es negativa. En los extremos relativos de f(x), la derivada f’(x) vale cero.

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5.2 Monotonía y extremos relativos de una función Ejemplo 1: Estudia la monotonía de f(x) y halla sus extremos relativos. + - + MONOTONÍA: f(x) crece en f(x) decrece en EXTREMOS RELATIVOS: máximo relativo mínimo relativo

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función Cuando f(x) es convexa, f’’(x) es negativa. Y cuando f(x) es cóncava, f’’(x) es positiva. En el punto de inflexión de f(x), la segunda derivada f’’(x) vale cero.

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función Ejemplo 1: Estudia la curvatura de f(x) y halla sus puntos de inflexión. - + CURVATURA: f(x) es cóncava en f(x) es convexa en PUNTOS DE INFLEXIÓN: Punto de inflexión

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función Ejemplo 2:

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función Ejemplo 3:

5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 5.3 Curvatura y puntos de inflexión de una función Ejemplo 4:

TEMAS 5 y 6 - FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD. FIN MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO