UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA UNI - NORTE DIBUJO Y GEOMETRIA DESCRIPTIVA II

Ilce Ivonne Perez Tellez Ecuaciones empíricas. Ilce Ivonne Perez Tellez Alvaro Laguna Luis Octavio

INDICE Introducción Ecuaciones de una Recta Gráficas (y = mx + b) Gráficas logarítmicas (y = bxx) Gráfica logarítmica (y = bxm)

Introducción Las Gráficas Matemáticas, conocidas como Teoría de Gráficas, son una rama de las matemáticas que nació en el siglo XVIII; en la que los problemas se representan y se resuelven justamente utilizando "gráficas". Los matemáticos que trabajan en teoría de gráficas definen una gráfica como una colección de puntos (llamados vértices) unidos por líneas (llamadas aristas). Con las gráficas se pueden estudiar desde problemas muy abstractos hasta problemas reales como redes de calles, sistemas de rutas aéreas , redes de comunicación, la red de agua en una ciudad, distribución de mercancías y muchos otros. Los matemáticos clasifican los distintos tipos de gráficas y encuentran el número de líneas que deben salir de cada punto para que el problema que se representa mediante la gráfica tenga solución. La teoría de gráficas se ha convertido en una herramienta muy poderosa en la solución de problemas muy complejos que sería difícil resolver de otra manera.

ECUACIÓN DE UNA RECTA. Una línea recta se puede entender como un conjunto de puntos alineados en una única dirección. Uno de los postulados de la geometría Euclidiana dice "para determinar una recta solo es necesario dos puntos del plano. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10. Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b. Usa la información que te dan: m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación y = 3x + 10. La ecuación que te pide el ejercicio es y = 3x + 10.

Relaciones lineales La relación más simple entre variables es la de tipo lineal. La gráfica de una función lineal es una recta y la forma general de la función es como sigue: y = mx + b                        (1) en donde m es la pendiente de la línea y b su intercepto con el eje y, es decir el valor de y cuando x = 0. Por ejemplo, en la fórmula para convertir grados Fahrenheit (ºF) a grados centígrados (ºC): ºF = 9/5 ºC + 32             (2) 9/5 es la pendiente de la línea y 32 es el intercepto con y cuando x = 0. Esta ecuación nos permite convertir grados Fahrenheit a grados centígrados o viceversa. En este caso se dice que la escala Fahrenheit está relacionada en forma lineal con la escala centígrada, aunque no son directamente proporcionales. Si el gráfico de datos aparece sobre el papel como una recta que pasa por el origen, entonces su ecuación es de la forma y = mx, entonces y varía en forma directamente proporcional a x. Ejemplo 1. Se midió la solubilidad del KCl en agua a diferentes temperaturas, expresada como g KCl/100 g H2O, y se obtuvieron los siguientes datos: S (%) 30 31 35 36 40 42 45 49 51 T (ºC) 10 20 50 60 70 80 90

Relaciones de proporcionalidad inversa La relación inversa de primera potencia está dada por la ecuación: y = k/x             o            xy = k                                                 Esta ecuación establece que y varía inversamente a la primera potencia de x, es decir conforme aumentan los valores de x, y disminuye, y al disminuir x, y aumenta; k es una constante de proporcionalidad. Un ejemplo de este tipo de función, en química, es la ley de Boyle, que establece la relación entre la presión P de un gas y su volumen V, a temperatura constante. Cuando los valores de P se grafican en función de V, a temperatura constante, se obtiene una hipérbola (figura 6).

Relaciones exponenciales y logarítmicas Las funciones definidas por: y = e x      y       y = e - x                           (6) se denominan funciones exponenciales. Al convertirlas en una función logarítmica y graficar los datos se obtiene una línea recta. En efecto, al sacar logaritmo en ambos lados de la ecuación, se obtiene ln y = x que es una ecuación de la forma y’ = mx + b Ejemplo 2. El peróxido de hidrógeno se descompone en agua y oxígeno de acuerdo con la reacción: H2O2 --> H2O + 1/2 O2(g). Se midió experimentalmente la concentración del peróxido a diferentes intervalos de tiempo: Tiempo (s) 200 400 800 900 2000 Concentración Mol/l 23.0 19.3 16.2 13.6 11.4 10.5

Las gráficas logarítmicas - semilogarítmicas son gráficos cartesianos que relacionan elementos de dos conjuntos a través de sus ejes, los dos conjuntos crecen de forma exponencial y se representan sobre los ejes en la escala logarítmica de los números naturales. Cuanto mayor es un número menor es su logaritmo por lo tanto podemos representar números muy altos. Los gráficos semilogarítmicos utilizan en un eje una escala normal y sobre el otro eje la serie logarítmica de los números naturales. Logarítmicas

Gráficos Logarítmicos y = mx + b Cualquier recta tiene por ecuación y=mx+b m es la pendiente b es la ordenada en el origen

Podemos hallar la ecuación de una recta a la vista de su gráfica Calculamos la pendiente m=(5-4)/(3-0)=1/3 Su ordenada en el origen, dado que pasa por el punto( 0,4 ), es b= 4 La ecuación de la recta es y=1/3x+4

Algunas consideraciones Una recta que pasa por el origen de coordenadas tiene como ordenada en el origen b=0 Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. y=x+2, y=x. Pendiente m=1 en ambas La recta y=k, que se llama función constante, es paralela al eje de las X. Su pendiente es m=0. y=3, y=2,5 e y= 1