Ecuación de Schrödinger Elaborado por: Rafael Navarro Nieto (G8N27)

Erwin Schrödinger Nace el 12 de agosto 1887 en Viena, Erdberg y muere de tuberculosis el 4 de enero 1961 a la edad de 73 años. Físico austríaco, nacionalizado irlandés, que realizó importantes contribuciones en los campos de la mecánica cuántica y la termodinámica. Recibió el Premio Nobel de Física en 1933 por haber desarrollado la ecuación de Schrödinger. Tras mantener una larga correspondencia con Albert Einstein propuso el experimento mental del gato de Schrödinger que mostraba las paradojas e interrogantes a los que abocaba la física cuántica.

Erwin Schrödinger 1906-1910 Estudios en Viena con Franz Serafin Exner (1849-1926), Fritz Hasenhrl, trabajos experimentales con Kohlrausch. 1920 Ayudante de Max Wien, Jena. 1920 Profesor asociado, Stuttgart. 1921 Profesor titular, Breslau (hoy Wrocław, Polonia). 1922 Universidad de Zürich. 1926 Annalen der Physik: "Quantisierung als Eigenwertproblem" (Cuantización como problema de autovalores): ecuación de mecánica ondulatoria de Schrödinger. 1927 Sigue a Max Planck a la Universidad de Berlin-Humboldt. 1933 Fellow del Magdalen College, Universidad de Oxford. 1934 Asociado en la Universidad de Princeton. 1936 Universidad de Graz, Austria. 1938 Busca becas e investigaciones a través de Italia y Suiza hasta Oxford - Universidad de Ghent. En el Instituto de Estudios Avanzados en Dublín, es Director de la Escuela de Física Teórica. Más de 50 publicaciones en varias áreas. Intentos hacia una teoría de campo unificada.

Ecuación de Schrödinger Fue desarrollada en 1925 y describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, pues define la ecuación de conservación de la energía pero en sistemas mecánico cuánticos, es decir, el mundo microscópico, tanto para partículas elementales, tales como electrones y sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.

Ecuación de Schrödinger contexto histórico Hacia el s. XX se había comprobado la dualidad de la luz (onda-partícula), es decir, la luz podría ser partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico) u onda electromagnética. Louis-Victor Broglie, en 1923 generalizó esta dualidad a todas las partículas conocidas (onda de Broglie); hasta 1927 se comprobó su hipótesis experimentalmente, cuando se observó la difracción de electrones

Ecuación de Schrödinger contexto histórico Análogamente con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con energía (E) y cantidad de movimiento (p) una frecuencia (ʋ) y una longitud de onda (λ): E = hʋ h λ p =

Ecuación de Schrödinger contexto histórico La comprobación experimental, hecha por Clinton Davisson y Lester Germer, demostró que la longitud de onda asociada a los electrones, medida en la difracción según la fórmula de Bragg, correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie. nλ = 2dsen(θ) Ley de Bragg

Ecuación de Schrödinger contexto histórico Esa predicción llevó a Schrödinger a describir una ecuación para la onda asociada de De Broglie, que para escalas macroscópicas se redujera a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La energía mecánica total clásica es: Siendo Et energía total P cantidad de movimiento m masa V energía potencial Et = P2 2m + V

Ecuación de Schrödinger contexto histórico La interpretación física correcta de la función de onda de Schrödinger fue dada en 1926 por Max Born. Como resultado del carácter probabilista que se introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de renombre como Albert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados».

Ecuación de Schrödinger desarrollo Partiendo de la ecuación general de la ley de conservación de la energía: Ec + V = Et energía cinética energía potencial energía total

Ecuación de Schrödinger desarrollo El calculo de Ec es fácil; lo que caracteriza a la ecuación de Schrödinger es la energía potencial, relacionada con el medio donde mueve la partícula 1 2 p2 2m Ec = mv2 = No obstante, se debe considerar una pequeña variación en el calculo de la Ec

Ecuación de Schrödinger desarrollo p2 = -ħ2 ∂2 ∂x2 Pi = îħ ^ ∂ ∂x Elevando al cuadrado Observable físico Operador matemático p2 2m -ħ2 2m ∂2 Por consiguiente: = ∂x2

Ecuación de Schrödinger desarrollo Retomando la ecuación de conservación de la energía, y aplicando el resultado obtenido en el paso anterior se obtiene que: Et = Ec + V -ħ2 2m ∂2 Et = + V ∂x2 Partícula en movimiento Ambiente

Ecuación de Schrödinger desarrollo A la ecuación anterior, Schrödinger agregó una función denominada ”función de onda”, que resulta ser la solución a la ecuación de Schrödinger -ħ2 2m ∂2 [ ] EtΨ = + V Ψ ∂x2 Ψ es la función de onda, donde esta el contenido de toda la información del sistema mecánico-cuántico

Ecuación de Schrödinger desarrollo El planteamiento que sigue, corresponde solo a un análisis unidimensional (en x) -ħ2 2m d2 [ ] Multiplicar por (–) a ambos lados de la ecuación EtΨ = + V Ψ dx2 ħ2 2m d2 [ ] Llevar -EtΨ al lado derecho de la ecuación -EtΨ = - V Ψ dx2 ħ2 2m d2 [ ] Factorizar Ψ 0 = - V Ψ -EtΨ dx2

Ecuación de Schrödinger desarrollo ħ2 2m d2 [ ] Multiplicando al interior por 2m/ħ2 0 = +(E – V) Ψ dx2 d2 2m ħ2 [ ] Haciendo K2 = 2m/ħ2(E-V) 0 = + (E – V) Ψ dx2 d2Ψ 0 = + K2Ψ dx2 0 = Ψ’’ + K2Ψ Lo cual conduce a:

Ecuación de Schrödinger desarrollo Posee dos funciones solución, siendo la general una combinación lineal de ambas (pues la ecuación diferencial es de grado 2) 0 = Ψ’’ + K2Ψ Procedemos a convertir la ecuación diferencial de grado 2 a una algebraica de mismo grado: Hacemos d d2 D = D2 = dx dx2

Ecuación de Schrödinger desarrollo 0 = + K2Ψ dx2 d d2 Reemplazando estos valores en la ecuación se obtiene que: D = D2 = dx dx2 0 = D2Ψ + K2Ψ Factorizando Ψ 0 = Ψ(D2 + K2) Solucionando la suma de cuadrados 0 = Ψ(D + iK)(D - iK)

Ecuación de Schrödinger desarrollo Del sistema anterior se rescata que: Ψ1(D + iK) = 0 ó Ψ2(D - iK) = 0 Ψ1D + Ψ1iK = 0 ó Ψ2D - Ψ2iK = 0 Reemplazando D por d/dx d d Ψ1 + Ψ1iK = 0 ó Ψ2 - Ψ2iK = 0 dx dx d d Ψ1 = -Ψ1iK ó Ψ2 = Ψ2iK dx dx Realizando algunos despejes e integrando se obtiene que:

Ecuación de Schrödinger desarrollo ∫ dΨ1 ∫ ∫ ∫ dΨ2 = -iKdx ó = iKdx Ψ1 dx Ln(Ψ1) = -iKx + Ln(A) ó Ln(Ψ2)= iKx + Ln(B) Aplicando exponencial Ψ1 = Ae-iKx ó Ψ2 = BeiKx La solución general resulta una combinación lineal de Ψ1 y Ψ2

Ecuación de Schrödinger desarrollo Ψ = C1e-iKx + C2BeiKx Los términos de la derecha describen el comportamiento de ondas planas circulares. El signo del exponente indica que dirección posee la onda