Curso de Semiconductores

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SESIÓN 2-3 Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng. Departamento de Ingeniería Electrónica Grupo de Microelectrónica - Control Universidad de Antioquia

Repaso de algunos conceptos de física moderna
Es necesario recordar algunos conceptos fundamentales. El Objetivo de esta sesión es recordar los siguientes temas: El efecto fotoeléctrico. Modelo del átomo de hidrogeno (modelo cuantizado de Bohr). Ecuación de Schrodinger.

Repaso de algunos tópicos de física moderna
El efecto fotoeléctrico La interacción de la luz con la materia constituía comienzos del siglo XX uno de los problemas más difíciles de resolver a luz de la física clásica. La descripción básica del efecto fotoeléctrico: “Es la liberación de electrones desde la superficie de un material cuando es irradiado por una radiación electromagnética (luz)” Fue observado por Heinrich Hertz en 1887.

El efecto fotoeléctrico Experimento de J. Thomson y Philipp Lernard (1898) Para que un electrón escape necesita que El electrón reciba una Cantidad mínima de Energía F (función trabajo) Vf Potencial de frenado

El efecto fotoeléctrico Hechos físicos: Existe una frecuencia umbral n0 por debajo de la cual no se emiten electrones de la superficie. n < n0 la corriente es cero (es independiente de la intensidad de la luz) Para n > n0 los electrones presentan una energía cinética máxima (Kmax), de tal forma que si Vf es potencial de frenado: eVf = Kmax (no de depende la intensidad de la luz)

El efecto fotoeléctrico Hechos físicos: El valor de la energía cinética máxima depende linealmente de la frecuencia de luz incidente. Los experimentos mostraban que no existía un retraso apreciable entre la incidencia de la luz sobre la superficie y la emisión de los electrones.

El efecto fotoeléctrico En 1905, Eisntein propuso la teoría corpuscular de la luz. Se baso en la hipótesis de Max Planck (1901): “ La radiación emitida o absorbida por un cuerpo (calentado) es en unidades discretas llamadas fotones”. La energía emitida es restringida a ciertos valores discretos dados por: En = nhn para n= 1,2.3 … n frecuencia de la radiación. h constante de Planck (6.62x10-34 J-S)

El efecto fotoeléctrico Eisntein propuso que la luz monocromática de frecuencia n que se propaga en el vacío consiste de un flujo de partículas o cuantos llamados fotones. Los fotones viajan a la velocidad de la luz y tienen un valor discreto de energía dado por: E = hn donde h es la constante de Planck y n es la frecuencia. Los fotones interaccionan con los electrones intercambiando energía.

El efecto fotoeléctrico Explicación: Para que electrón escape del metal debe tener al menos una energía igual a la función trabajo f0. Si la energía hn adquirida por electrón al absorber el fotón es menor que este valor el electrón no puede ser “arrancado”. Luego: f0 = hn0 donde n0 es la frecuencia umbral el electrón puede ser “arrancado” si n > n0

El efecto fotoeléctrico Explicación: Si la radiación incidente tiene frecuencia n la energía cinética que adquiere el electrón será: Kmax = hn - f0 En el experimento: Como Kmax = eVf Siendo Vf el potencial eléctrico aplicado lo que se llamó potencial de frenado. luego: Vf = (h/e)(n – n0)

El efecto fotoeléctrico Explicación: Considerando que l = c/n (para los fotones) Vf = (hc/e)( 1/l – 1/l0)

Resumen de la teoría dual de la luz La luz consiste de un flujo de partículas llamadas fotones que viajan a la velocidad de la luz. Estas partículas tienen asociada una cantidad de movimiento y una energía. La masa asociada es cero Ecuaciones importantes: E = (p2c2 + m2c4)1/2 con m=0 E = pc (p momentum y c V. de luz) como E = hn y l= c/n , entonces p= E/c = hn/c = h/l

Ejercicio: Si sobre la superficie del Na cuya función trabajo es F0 = 3.7x10-19 J = 2.3 eV, incide una luz monocromática con una longitud de onda de 450 nm determinar: 1. La energía de los fotones. 2. La energía cinética máxima de los electrones emitidos. 3. La frecuencia umbral para el Na. 4. El módulo de la cantidad de movimiento de los fotones de la luz incidente.

Modelos de Bohr del átomo de hidrogeno Desarrolló dos modelos: Modelo clásico. Basado en la física clásica. Modelo cuantizado. Donde incluye la teoría cuántica de Planck Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) Existe una fuerza electrostática debido a las cargas. Existe un fuerza centrípeta debido al movimiento circular.

Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) Existe una fuerza atractiva: F = -q2/(4pe0r2) e0 es permitividad del espacio vacío r El campo eléctrico definido como la fuerza Por unidad de carga: E = q/(4pe0r2 ) V/m

Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) El potencial electrostática debido al Campo eléctrico esta dado por: v = Edx Considerando un simetría esférica: v = qdr/(4pe0r2) = q/(4pe0r) r

Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) La energía potencial a la una distancia r desde el núcleo: Ep = V(-q) = -q2/(4pe0r) La fuerza centrípeta sería: mv2/r La aceleración angular es: v2/r r La fuerza eléctrica se balancea con la fuerza centrípeta en magnitud: mv2/r = q2/(4pe0r2)

Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”) Luego de la ecuación anterior se puede calcular la energía cinética: EK = mv2/2 = q2/(8pe0r) La energía total sería: Et = Ek + Ep = q2/(8pe0r) + -q2/(4pe0r) = - q2/(8pe0r) r Cuál era problema con este modelo ?

Modelo cuantizado Bohr estableció los siguientes postulados Los electrones giran alrededor del núcleo únicamente en ciertas orbitas circulares definidas. Cada orbita corresponde a cierto nivel de energía. Estas orbitas son llamadas estacionarias. Los electrones pueden ocupar estas orbitas sin radiar ninguna energía. La transferencia de un electrón desde una orbita de baja energía a otra de mayor energía requiere de la absorción de radiación por el átomo, mientras que la transferencia de una órbita de mayor energía a una de menor energía resulta en la emisión de radiación. Luego: E2 – E1 = hn Siendo n la frecuencia de la radiación

Modelo Cuantizado Bohr estableció los siguientes postulados Las únicas orbitas estacionarias permitidas de los electrones son aquellas en las cuales el momentum orbital angular está cuantizado. Siendo un múltiplo entero de h/2p . Luego: (1) mvrn = nh/2p con n = 1,2,3,…. (número cuántico P) considerando que: mv2/r = q2/(4pe0r2) se calcula: v= (q2/(4pe0rm))1/2 Sustituyendo en (1) y despejando rn se tiene: rn =n2h2e0/(mpq2)

Modelo cuantizado Bohr estableció los siguientes postulados Con rn =n2h2e0/(mpq2) y sabiendo que la energía total es Et= - q2/(8pe0r) sustituyendo el valor de r tenemos que En = -q4m /(8n2h2e02) Considerando la energía en electrón voltios: En (eV) = -13.6/n2 con n= 1,2,3 …

A luz de la física clásica lo siguiente no era conciliable: Amplitud (A) velocidad de fase (w) Onda Longitud de onda (λ) Frecuencia (n ) Intensidad (I) Velocidad (v) Partícula Energía (E) Momentum (p) Masa (m)

Hipotesis de Broglie En 1924, postulo que las partículas tales como los electrones se comportan (o manifiestan propiedades) como ondas, Similar a los fotones: Se cumplen las siguientes relaciones para las “ondas de materia”: n = E / h l = h / p Lectura interesante: En que consistió el experimento de C. Davisson y L. Germer (de los Laboratorios Bell), con el cual mostraron experimentalmente la hipótesis de Broglie.

Que pasa entonces con el modelo cuantizado de Bohr del átomo de hidrógeno ?. Cuál es la onda asociada con el electrón que gira alrededor del núcleo ? Asumamos una onda asociada con el electrón de tal forma que: 2pr = l 2pr = 2l

En forma general podemos establecer: 2pr = nl con n= 1, 2, 3, …. Como l = h / p (Broglie) entonces la ecuación anterior queda: rp = nh/2p como p = mv, podemos concluir que: mvr = nh/2p con n= 1, 2, 3, …. “Esta es precisamente una de las hipótisis de Bohr”

Igualmente: si n es la frecuencia asociada a la onda, entonces la velocidad de fase se define: w = l n Usando las hipótesis de Broglie: n = E / h y l = h / p w = E/ p Asumiendo que: E = (1/2)mv2 = p2/2m entonces w = p /2m luego w = v/2

Vamos a asumir la energía negativa, ya que es debida al enlace (interacción eléctrica con el núcleo): El valor de la energía debe ser: E = - h n como: n = w / l y w= v/2 Entonces: E = - hv/2l Como: l = 2pr/n la ecuación de la energía quedará: E = - nhv/4rp,

E = - nhv/4rp, De acuerdo con la cuantización del momentum se estableció que las orbitas circulares obedecen a las siguientes ecuaciones: r = n2h2e0/(mpq2) y v = q2/(2e0nh) Luego la energía quedaría: E = -q4m/(8n2h2e02) que es la misma establecida por el el modelo de Bohr !!

La ecuación de SchrÖdinger Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica. Si la función de onda asociada a una partícula es Y (x,y,z) la Ecuación de onda de estado estacionario es: 2Y + (8p2m/h2)(E – W)Y = 0 siendo m la masa de la partícula. W es la energía potencial. E es la energía total.

La ecuación de SchrÖdinger Interpretación de Y (x,y,z): Consideremos un volumen elemental dV = dxdydz centrado en el punto (x,y,z), la probabilidad diferencial dP de que la partícula se encuentre en ese volumen esta dada por: dP = |Y (x,y,z)|2 dV Densidad de probabilidad

La ecuación de SchrÖdinger Interpretación de Y (x,y,z): La probabilidad PV de que la partícula se encuentre en un volumen V está dada por: PV = ∫v |Y (x,y,z)|2 dV de lo anterior se tiene que: ∫∞ |Y (x,y,z)|2 dV = 1

La ecuación de SchrÖdinger Para el cálculo de Y (x,y,z) se debe tener en cuenta: Que la función Y (x,y,z) y su primer derivada debe se finita y continua. 2. La densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de longitud en el caso unidimensional, o la probabilidad por unidad de volumen en el caso tridimensional) esta dada por: Y . Y*

Muy importante para solucionar el ecuación de onda en caso en que la energía potencial es periódica: El teorema de Bloch Establece que si un sistema presenta un energía potencial periódica (con periodo a), entonces las soluciones de la ecuación de onda son de la forma: Y (x) = k(x)eiKx donde k(x) es periodica con periodo a o sea que k(x)= k(x+a)= k(x+na)

Problemas a resolver: Encontrar la ecuación de onda para los siguientes casos: 2. Encontrar la ecuación de onda asociada W=∞ El electrón esta confinado en una caja de potencial E W=0 x= x=L El electrón se mueve en las Dos regiones Región 1 W Región 2 W=0 x=0

Problemas a resolver: 3. Encontrar la ecuación de onda asociada: W El electrón se encuentra en esta región x=0 x=a

4. Encontrar la ecuación de onda asociada para átomo de hidrogeno: La energía potencial está dada por: EP = -q2/4pe0r - q q Ecuación de SchrÖdinger en coordenadas esféricas:

E. Potencial Masa reducida Con y Solución (separación de variables):

5. Encontrar la ecuación de onda asociada a un electrón en medio de una energía potencias que varia periódicamente (modelo de Kronig-Penny) x a L x=0 n=1 n=2 n=3 Epo b= a-L

Problema de la caja de potencial: W=∞ Energía potencial W=∞ W=0 Un electrón E x= x=a Con: Solución:

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