Estimación por Intervalos de confianza Inferencia Estadística Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Características de los estimadores Variabilidad Cada uno de los estimadores tienen asociada una variabilidad que se debe a las variables aleatorias que lo componen Consistencia Los valores del estimador, a pesar de que sea insesgado siempre van a cambiar cada vez que se analice una muestra diferente. Intervalos de Estimadores Para muchas situaciones es preferible estimar un intervalo dentro del cuál se esperaría encontrar el valor del parámetro. Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

Intervalo de confianza Definición Un intervalo numérico que expresa los valores en los que el parámetro poblacional estará presente un determinado número de veces. Formalmente estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. Confianza Proporción del número de veces que el parámetro se encontrará dentro del intervalo. Estimador Para poder crear el parámetro relacionado a un intervalo de confianza se requiere un estimador adecuado.

Descripción del Intervalo

Diferencias entre los valores medios de un intervalo de confianza Un intervalo de confianza es un procedimiento de estimación que tiene una probabilidad del 95% de producir un intervalo donde se encuentre el parámetro poblacional.

Fórmulas I.C. general para un parámetro asociado a le media poblacional. I.C. de una población normal con varianza conocida.

Ejemplo En determinado producto se obtiene a través de una muestra la cantidad promedio de concentración de calcio. Por el constante control de calidad se sabe que la desviación estándar de la población es 0.3g Se toma una muestra de 36 productos, y se obtiene un promedio muestral del de 2.6g. Calcule un intervalo de confianza del 95% y 99% para la media de la población ¿Qué conclusiones se obtienen entre la relación del nivel de confianza y la amplitud del intervalo? ¿Qué valores tendría un intervalo de confianza de la media poblacional al 100%? ¿Qué interpreta usted sobre los resultados del intervalo? ¿Qué les dice este resultado sobre la probabilidad de obtener un producto mayor a 2.8? ¿Qué le dice este intervalo sobre la probabilidad de que el parámetro esté sobre este intervalo?

Consideraciones El intervalo de confianza debe implementarse cuando se desea hacer un análisis sobre el parámetro poblacional. No representa la probabilidad de que un parámetro de cierta población esté entre dos valores. (Estadística Bayesiana) Un intervalo de confianza no responde exactamente preguntas: ¿En dónde va a caer la siguiente observación? ¿Dónde está la mayoría de la distribución? Específicamente un intervalo de confianza presenta: Sólo indica que si el experimento o los datos se observan muchas veces. (Obteniendo un I.C. en cada caso). Aproximadamente el 95% de tales intervalos contendrá el parámetro real.

Estimación del tamaño de muestra El término que acompaña al estimador de cada intervalo representa el error límite al cual está asociado el nivel de confianza. Es posible definir un tamaño de muestra que garantice con (con una probabilidad igual al nivel de confianza), no exceder un error determinado. Es necesario realizar la aproximación al entero mayor siguiente para asegurar que se cumpla siempre con el nivel de confianza.

Ejercicio ¿Qué tan grande se requiere una muestra para el ejemplo anterior, si queremos tener un 95% de confianza de que nuestra estimación de la media poblacional difiera por menos de 0.05? ¿Y para que difiera menos de 0.01?

El caso de la desviación poblacional desconocida Cuando no se conoce la varianza poblacional pero las variables aleatorias siguen una distribución normal, entonces, se sabe que: Se distribuye T de student con n grados de libertad. ¿Cuál es la estructura del intervalo de confianza para la media poblacional en este caso?

Fórmula I.C. con varianza poblacional desconocida para el promedio de una población,

Diferencia de medias Permite establecer los intervalos de confianza para la diferencia de los promedios de dos poblacionales. Es necesario identificar los posibles casos asociados a la desviación estándar. Varianzas Poblacionales Conocidas Varianzas Poblacionales Desconocidas pero Iguales Varianzas Poblacionales Desconocidas y Diferentes. ¿Defina el I.C. para los tres casos mencionados anteriormente?

Fórmulas Varianzas Poblacionales Conocidas Varianzas Poblacionales Desconocidas pero Iguales Varianzas Poblacionales Desconocidas pero Diferentes

I.C. para la varianza Permite identificar el intervalo NO simétrico de la varianza poblacional. Se debe recurrir a la distribución Chi cuadrado. ¿Cuál es la estructura de in I.C. para la varianza poblacional?

Fórmulas I.C. para la varianza poblacional

I.C. para el cociente de varianzas Permite estimar el límites del intervalo para la división de las varianzas poblacionales. Se asumen variables de origen normal. El estimador del cociente de las varianzas poblacionales es el cociente de las varianzas poblacionales muestrales ajustadas. ¿Cuál es la estructura del intervalo de confianza del cociente de varianzas poblacionales?

Fórmulas I.C. de confianza para el cociente de varianzas poblaciones.

Ejercicio Los siguientes son los pesos en gramos de diez paquetes de semillas para césped distribuidos por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2, 46. Encontrar el intervalo de confianza del 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas para césped que distribuye esta compañía. Suponga una población normal.

Aspectos a tener en cuenta Es preferible un intervalo de confianza pequeño y un decente nivel de confianza que un intervalo de gran amplitud y un nivel de confianza demasiado grande. Para disminuir el error máximo permitido se debe asegurar un número mínimo de tamaño de muestra. Este no siempre es posible, ya sea por consideraciones económicas o de otra índole. Por lo tanto se debe asegurar una mayor simetría de la población de interés a través de las técnicas de muestreo y depuración de datos. (Sin llegar a generar sesgos) Este error por lo general puede ser definido como un valor porcentual de la varianza poblacional – o muestral-. Los intervalos de confianza son ampliamente utilizados en la industria, pero no siempre son correctamente interpretados.

Ejercicio Determinar el intervalo de confianza para el parámetro de proporción.