Desigualdades Una desigualdad es una oración conteniendo < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que) o ≠ (no es igual) . Ejemplos: -2 < a, x > 4, x + 3 ≤ 6, 6 – 7x ≥ 10y - 4 o 5x ≠ 10

Desigualdades Cualquier reemplazo por las variables que haga una desigualdad cierta, se llama una solución. El conjunto de todas las soluciones se llama el conjunto de solución. Cuando todas las soluciones de una desigualdad se han encontrado, decimos que hemos resuelto la desigualdad.

Encontramos que 5 no es una solución Desigualdades Ejemplos: Determine si el número dado es una solución de la desigualdad. Verifique si 5 es una solución de x + 3 < 6. Sustituimos por 5 Falso Encontramos que 5 no es una solución

Desigualdades Verifique si 1 es una solución de la ecuación 2x – 3 > -3. Verifique si 3 es una solución a la ecuación 4x – 1 ≤ 3x + 2. Sustituimos Cierto Por lo tanto 1 es una solución Sustituimos Cierta Por lo tanto 3 es una solución

Desigualdades y Notación de Intervalo La gráfica de una desigualdad es un dibujo que representa su solución. Una desigualdad en una variable se puede graficar en la recta numérica. Ejemplos: Trace x < 4 en la recta numérica. Primero escribimos el conjunto de solución: Esto lee como “el conjunto de todas las x tal que x es menor que 4.”

Desigualdades y Notación de Intervalo Otra manera de escribir la solución es usando notación de intervalo y se representa así: (-∞ , 4) Luego trazamos la gráfica en la recta numérica como sigue: Donde la solución es todos los números reales menor que 4 y: sombreamos todos los números menor que 4, e indicamos que el 4 no es una solución usando un paréntesis derecho “)” en 4. )

Desigualdades y Notación de Intervalo Notación de intervalo es otra manera de representar la solución a una desigualdad. La notación de intervalo usa paréntesis ( ) y corchetes [ ]. Los paréntesis indican que los puntos finales no están incluidos. Los corchetes indican que los puntos finales están incluidos.

Desigualdades y Notación de Intervalo A continuación ilustraremos como representar varias soluciones a desigualdades: Si a y b son números reales tal que a < b, definimos el intervalo (a, b) como el conjunto de todos los números entre pero no incluyendo a a y b; esto es, el conjunto de todas las x por la cual a < x < b. Entonces: ) ( (a, b) a b Los puntos a y b son puntos finales. Los paréntesis indican que los puntos finales no están incluidos en la gráfica.

Desigualdades y Notación de Intervalo El intervalo [a, b] es definido como el conjunto de todos los números x por el cual a ≤ x ≤ b. Entonces, ] [ [a, b] a b Los corchetes indican que los puntos finales están incluidos en la gráfica.

Desigualdades y Notación de Intervalo Los siguientes intervalos incluyen un punto final y excluye el otro: La gráfica excluye el punto a e incluye el punto b: La gráfica incluye el punto a y excluye el punto b: ] ( (a, b] a b ) [ [a, b) a b

Desigualdades y Notación de Intervalo Algunos intervalos se extienden sin límite en una o ambas direcciones. Usamos el símbolo ∞, lee “infinito”, y -∞, lee “negativo infinito”, para nombrar estos intervalos. La notación (a, ∞) representa el conjunto de todos los números mayor que a; esto es: ( a (a, ∞)

Desigualdades y Notación de Intervalo La notación (-∞, a) representa el conjunto de todos los números menor que a, esto es: Las notaciones [a, ∞) y (-∞, a] se usan cuando queremos incluir los puntos finales. El intervalo (-∞, ∞) nombre el conjunto de todos los números reales. ) (-∞, a)

(a, b) [a, b] [a, b) (a, b] (a, ∞) [a, ∞) (-∞, b) (-∞, b] (-∞, ∞) Notación de Intervalo Conjunto de Notación Gráfica (a, b) [a, b] [a, b) (a, b] (a, ∞) [a, ∞) (-∞, b) (-∞, b] (-∞, ∞) ( ) a b [ ] a b [ ) a b ( ] a b ( a [ a ) b ] b

Desigualdades y Notación de Intervalo Ejemplos: Escriba la notación de intervalo del conjunto . .

Desigualdades y Notación de Intervalo Escriba la notación de intervalo para la gráfica: Escriba en notación de intervalo: ( ] -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = (-2, 4] ) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = (-∞, -1)

Resolviendo Desigualdades El principio de suma para desigualdades: Para cualquier número a, b y c : a < b es equivalente a a + c < b + c a > b es equivalente a a + c > b + c Similar expresión se mantiene para ≤ y ≥ . Dado que restando c es lo mismo que sumando – c, no hay necesidad para un principio separado de resta.

Resolviendo Desigualdades Resuelva y trace la gráfica: x + 5 > 1 . Usando el principio de suma: sumando -5 o restando 5 Notación de Intervalo y Conjunto de Solución ( Gráfica -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades Resuelva y trace la gráfica: 4x – 1 ≥ 5x – 2 . Sumando 2 Simplificando Restando 4x Simplificando Notación de Intervalo y Conjunto de Solución ] Gráfica -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades El principio de multiplicación para desigualdades: Para cualquier número real a y b, y cualquier número positivo c: a < b es equivalente a ac < bc ; a > b es equivalente a ac > bc . Para cualquier número real a y b, y cualquier número negativo c: a < b es equivalente a ac > bc ; a > b es equivalente a ac < bc . Expresiones similares se mantienen ciertas para ≤ y ≥ . Dado que división por c es lo mismo que multiplicación por 1/c, no hay necesidad para un principio de división separado.

Resolviendo Desigualdades Resuelva y trace la gráfica: Multiplicando por . El símbolo se mantiene igual. Notación de Intervalo y Conjunto de Solución ) Gráfica -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades Resuelva y trace la gráfica: -5x ≥ -80 . Dividimos por -5. El símbolo tiene que ser invertido. ] -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16

Resolviendo Desigualdades Resuelva: 16 – 7y ≥ 10y - 4 . Sumando -16 Coleccionando términos iguales Sumando -10y Dividiendo por -17. El símbolo tiene que ser invertido. Simplificando ] -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resolviendo Desigualdades Resuelva: -3(x + 8) -5x > 4x - 9 Usando la ley distributiva Coleccionando términos iguales Sumando 8x Coleccionando términos iguales Sumando 9 Simplificando Dividiendo por 12. El símbolo se queda igual. ) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9