PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA CEA MTRA. MA. DEL CARMEN LÓPEZ MUNIVE SESIÓN 4 Y 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Experimentos, espacio de una muestra y reglas de conteo. DEFINICIÓN. Probabilidad, rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística La probabilidad es importante en la toma de decisiones, porque suministra un mecanismo para medir, expresar y analizar la incertidumbre asociada con eventos futuros. Valores de probabilidad. Se asigna en una escala de 0 a 1 0 a 1 indica grados de certeza de que el evento ocurra 0 indica que es difícil que el evento ocurra 1 indica que es casi seguro que sucederá

Experimentos, espacio de una muestra y reglas de conteo. DEFINICION. Experimento, cualquier proceso que genere resultados bien definidos, los experimentos en estadística son aleatorios (cuando el experimento se repite exactamente en la misma forma, puede obtenerse un resultado completamente distinto). DEFINICIÓN. Espacio muestral , conjunto de todos los puntos muestrales posibles (resultados experimentales que se representa por S). DEFINICIÓN. Punto muestral, resultado individual de un experimento.

Experimentos, espacio de una muestra y reglas de conteo. Regla de conteo para experimentos de etapas múltiples, Si un experimento se puede describir como una sucesión de k etapas, en las que hay n1 resultados posibles en la primera etapa, n2 en la segunda , etc., la cantidad de resultados del experimento total es igual a : (n1)(n2)..........(nk) Diagrama de árbol es un dispositivo gráfico útil para visualizar un experimento de varias etapas y enumerar los resultados experimentales.

Experimentos, espacio de una muestra y reglas de conteo. EXPERIMENTO DE LANZAR DOS MONEDAS.( Diagrama de árbol) ETAPA 2 n2 SEGUNDA MONEDA ETAPA 1 n1 PRIMERA MONEDA PUNTO MUESTRA SOL (SOL,SOL) SOL ÁGUILA (SOL,ÁGUILA) SOL ÁGUILA (ÁGUILA,SOL) ÁGUILA (ÁGUILA ÁGUILA) la cantidad de resultados del experimento total es igual a : (n1)(n2)..........(nk) (2)(2) = 4 4 RESULTADOS EXPERIMENTALES O PUNTOS MUESTRALES, ESPACIO MUESTRAL S={(S,S), (S,A), (A,S), (A,A)}

Experimentos, espacio de una muestra y reglas de conteo. EXPERIMENTO DE PROYECTO DE EXPANSIÓN ETAPA 2 n2 CONSTRUCCIÓN PUNTO MUESTRA ETAPA 1 n1 DISEÑO TIEMPO (2,6) 8 6 MESES 7 MESES 9 (2,7) 8 MESES 10 (2,8) 2 MESES 6 MESES (3,6) 9 3 MESES 7 MESES (3,7) 10 8 MESES (3,8) 11 4 MESES (4,6) 6 MESES 10 7 MESES (4,7) 11 8 MESES (4,8) 12

REGLA DE CONTEO PARA COMBINACIONES La cantidad de combinaciones de N objetos tomando n a la vez es: N N ! = n n! ( N – n ) !

EJEMPLO: En un procedimiento de control de calidad un inspector selecciona al azar dos de cinco partes , para examinarlas y ver si tienen defectos. En un grupo de cinco partes : ¿ cuántas combinaciones de dos partes se pueden seleccionar? 5 5! (5) (4)(3)(2)(1) 120 = = = =10 2! ( 5 – 2 ) ! (2)(1)(3)(2)(1) 12 2

Asignación de probabilidades a los resultados experimentales. La Probabilidad de un resultado experimental es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra ese resultado. Para asignar las probabilidades a los resultados experimentales se deben satisfacer dos requisitos básicos. Los valores de probabilidad que se asignen a cada resultado experimental (punto muestral) deben ser entre 0 y 1, donde P(Ei) representa la probabilidad de este resultado experimental: 0<=P(Ei) <=1 La suma de todas las probabilidades de resultados experimentales debe ser 1. Si un espacio muestral tiene k resultados experimentales, se debe cumplir: P(E1) + P(E2) +............P(Ek) = å P(Ei) = 1

Asignación de probabilidades a los resultados experimentales. Métodos para asignar valores de Probabilidad: Método clásico: Cuando se usa la hipótesis de resultados igualmente probables como base para asignar probabilidades ( en una moneda sol o águila tienen la misma probabilidad de ½ o .50; en un dado los seis números tienen la misma probabilidad de 1/6 o .166) Método de frecuencia relativa: Basado en la experimentación o datos históricos ( de 400 clientes se tienen los siguientes datos históricos 100 compraron realmente el producto y 300 no lo compraron. En consecuencia se usa la frecuencia relativa como un estimado de la probabilidad 100/400=.25 compran, 300/400=.75 no compran) Método subjetivo: Basado en el juicio personal

Eventos y sus probabilidades. DEFINICION. Evento, Un conjunto de puntos muestrales. DEFINICIÓN. Probabilidad de un evento , Es igual a la suma de las probabilidades de los puntos muestrales en el evento. Siempre que podamos identificar a todos los puntos muestrales de un experimento y asignar las probabilidades correspondientes a los puntos muestrales, podemos aplicar la definición para calcular la probabilidad de un evento.

Eventos y sus probabilidades. Asignación de probabilidades, método clásico. Si un experimento tiene “n” resultados posibles , con el método clásico de asignar´´la una probabilidad de 1/n a cada resultado experimental. Experimento: Tirar un dado Resultados del experimento: 1,2,3,4,5,6 S= 1,2,3,4,5,6 P(1) = 1/6 P(2) = 1/6 P(3) = 1/6 P(4) = 1/6 P(5) = 1/6 P(6) = 1/6

Eventos y sus probabilidades. Asignación de probabilidades, método de frecuencia relativa. Tiempo de Terminación ( meses) Cantidad de proyectos con los siguientes tiempos de terminación. Etapa 1 Etapa 2 Pto.Muestral 2 6 (2,6) 7 (2,7) 8 (2,8) 3 (3,6) 4 (3,7) (3,8) (4,6) (4,7) (4,8) TOTAL 40

Probabilidad del punto muestral Eventos y sus probabilidades. Asignación de probabilidades, método de frecuencia relativa. Punto muestral Tiempo Probabilidad del punto muestral (2,6) 8 meses P(2,6)= 6/40= .15 (2,7) 9 meses P(2,7)= 6/40= .15 (2,8) 10 meses P(2,8)= 2/40= .05 (3,6) P(3,6)= 4/40= .10 (3,7) P(3,7)= 8/40= .20 (3,8) 11 meses P(3,8)= 2/40= .05 (4,6) P(4,6)= 2/40= .05 (4,7) P(4,7)= 4/40= .10 (4,8) 12 meses P(4,8)= 6/40= .15 TOTAL = 1.00

Eventos y sus probabilidades. DEFINICION. Evento, Un conjunto de puntos muestrales. C = El evento de que el proyecto se termine en 10 meses o menos (<= 10) C = {(2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6)} =.70 L = El evento de que el proyecto se termine en menos de 10 meses (< 10) L = {(2,6), (2,7), (3,6)}=.40 M = El evento de que el proyecto se termine en más de 10 meses (> 10) M = {(3,8), (4,7), (4,8)} =.30 DEFINICIÓN. Probabilidad de un evento , Es igual a la suma de las probabilidades de los puntos muestrales en el evento.

Algunas relaciones básicas de probabilidad. DEFINICIÓN. Complemento del evento A, El evento que contiene todos los puntos muestrales que no están en A, en cualquier aplicación de probabilidades, debe suceder, ya sea el evento A o su complemento Ac P(A) +P(Ac) = 1 ESPACIO MUESTRAL S Ac EVENTO A

Algunas relaciones básicas de probabilidad. DEFINICIÓN: Unión de eventos A y B, El evento que contiene todos los puntos muestrales que están en A, en B, o en ambos. La unión se representa como A U B (ocurre A o B, o ambos) ESPACIO MUESTRAL S EVENTO A EVENTO B

Algunas relaciones básicas de probabilidad. DEFINICIÓN: Intersección de eventos A y B, El evento que contiene a todos los puntos muestrales que están simultáneamente en A y en B. La intersección se representa como A B, el área de traslape representa a A B ( A y B ocurren al mismo tiempo) ESPACIO MUESTRAL S EVENTO A EVENTO B

Algunas relaciones básicas de probabilidad. DEFINICIÓN: Ley aditiva, Una ley de probabilidades que se emplea para calcular la probabilidad de una unión, P (A U B). Es útil cuando se tienen dos eventos, y se desea conocer la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos (nos interesa conocer la probabilidad de que suceda A o B , o ambos). Esto es: P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A) + P(B) se asocian con todos los puntos muestrales de A U B,los puntos muestrales en la intersección A B están en A y en B al mismo tiempo. Al calcular P(A) + P(B) contamos dos veces a cada uno de los puntos en A B Al restar P(A B) corregimos el doble conteo

Algunas relaciones básicas de probabilidad. ANALICEMOS EL SIGUIENTE CASO: Al terminar un periodo de evaluación de desempeño de 50 empleados se observó que 5 habían terminado tarde su trabajo (evento L), 6 habían armado productos defectuosos (evento D), y 2 habían terminado tarde y armado productos defectuosos. P(L) = 5/50 = .10 P(D) = 6/50 = .12 P(L D) = 2/50 = .04 P (L U D) = P(L) + P(D) – P(L D) SUSTITUYENDO P (L U D) = .10 + .12 - .04 = .18 probabilidad de que suceda L o D , o ambos

Algunas relaciones básicas de probabilidad. Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común, cuando ocurre uno el otro no puede ocurrir, en este caso P(A B) = 0 Por lo que la Ley Aditiva, se reduce a P (A U B) = P(A) + P(B) ESPACIO MUESTRAL S EVENTO A EVENTO B

Probabilidad condicional. DEFINICIÓN. Probabilidad condicional P (A / B), La notación / indica el hecho de que se considera la probabilidad del evento A dada la condición de que ha ocurrido el evento B. En consecuencia, la notación P(A / B) se lee “la probabilidad de A dado B” EJEMPLO : Promoción de oficiales, hombres y mujeres, la fuerza policial está formada de 1200 oficiales, 960 hombres y 240 mujeres. En los últimos años fueron ascendidos 324 oficiales HOMBRES MUJERES TOTALES ASCENDIDOS 288 36 324 NO ASCENDIDOS 672 204 876 960 240 1200

M = Evento de que un oficial es hombre Demanda por discriminación, 288 oficiales hombres ascendidos vs 36 oficiales mujeres.¿Cómo se puede usar la probabilidad condicional para analizar la demanda por discriminación? M = Evento de que un oficial es hombre W = Evento de que un oficial es mujer A = Evento de que un oficial es ascendido Ac= Evento de que un oficial no es ascendido HOMBRES(M) MUJERES(W) TOTALES ASCENDIDOS(A) 288/1200=.24 36/1200=.03 324 NO ASCENDIDOS(Ac) 672/1200=.56 204/1200=.17 876 960 240 1200

HOMBRES(M) MUJERES(W) TOTALES ASCENDIDOS(A) . 24 prob. De que un oficial seleccionado al azar sea hombre y también ascendido P(M Ç A) .03 prob. De que un oficial seleccionado al azar sea mujer y también ascendido P(W Ç A) .27 P(A) NO ASCENDIDOS(Ac) .56 prob. De que un oficial seleccionado al azar sea hombre y también no sea ascendido P(M Ç Ac) .17 prob. De que un oficial seleccionado al azar sea mujer y también no sea ascendido P(W Ç Ac) .73 P(Ac) P(M) .80 P(W) .20 1.00 Como cada uno de esos valores expresa la probabilidad de la intersección de dos eventos, las probabilidades se llaman probabilidades conjuntas . Los valores en los márgenes de la tabla muestran por separado las probabilidades de cada evento, las probabilidades se llaman probabilidades marginales.

Análisis de las probabilidades condicionales P (A / B) se lee “la probabilidad de A dado B”, retomando el caso tenemos: Probabilidad de que un oficial sea ascendido dado que es hombre P (A / M) Probabilidad de que un oficial sea ascendido dado que es mujer P (A / W) Probabilidad de que un oficial no sea ascendido dado que es hombre P(Ac / M) Probabilidad de que un oficial no sea ascendido dado que es mujer P(Ac / W) HOMBRES(M) MUJERES(W) TOTALES ASCENDIDOS(A) 288/960=.30 36/240=.15 324 NO ASCENDIDOS(Ac) 672/960=.70 204/240=.85 876 960 240 1200

P(A / M) = P(A Ç M) / P(M) = . 24 / .80 = .30 La probabilidad condicional P(A / M), P(A / W), P(Ac / M) y P(Ac / W) se pueden calcular como la relación de la probabilidad conjunta, entre la probabilidad marginal P(A / M) = P(A Ç M) / P(M) = . 24 / .80 = .30 P(A / W) = P(A Ç W) / P(W) = .03 / .20 = .15 P(Ac / M) = P(Ac Ç M) / P(M) = .56 / .80 = .70 P(Ac / W) = P(Ac Ç W) / P(W) =.17 / .20 = .85 HOMBRES(M) MUJERES(W) TOTALES ASCENDIDOS(A) P(M Ç A) = . 24 P(W Ç A)= .03 .27 P(A) NO ASCENDIDOS(Ac) P(M Ç Ac) = .56 P(W Ç Ac)= .17 .73 P(Ac) P(M).80 P(W).20 1.00

LEY MULTIPLICATIVA: Se usa para determinar la probabilidad de una intersección de dos eventos, la ley multiplicativa se basa en la probabilidad condicional P(A / B) = P(A Ç B) / P(B) probabilidad conjunta, entre la probabilidad marginal. Al despejar P(A Ç B) obtenemos la ley multiplicativa P(A Ç B) = P(B) P(A / B)

EJEMPLO DE LEY MULTIPLICATIVA: Encuentre la probabilidad de que una familia que esté suscrita de lunes a sábado a determinado periódico también lo haga a la edición dominical. P(B) = suscripción de lunes a sábado = .84 P(A / B) = suscripción de lunes a sábado dado se suscriba edición dominical =.75 P(A Ç B) = P(B) P(A / B) =.84 (.75) =.63