Contenido El refinamiento de mallas triangulares no estructuradas. Particiones de triángulos en 2D. El problema de la propagación del refinamiento. Definiciones. Comportamiento asintótico y propiedades fractales. Pruebas numéricas. Conclusiones.

El refinamiento de mallas en 2D Aplicación de un modelo de evolución no lineal a la propagación del fuego.

El refinamiento de mallas en 2D Aplicación de un modelo de evolución no lineal a la propagación del fuego.

El refinamiento de mallas en 3D BOLA-3D

Particiones de símplices en 2D Similar Bisección Simple 4T-LE Baricéntrica G.F. Carey, 1976 Rosenberg, 1975 Rivara, 1984

Estrategias de refinamiento 1. Inserción de puntos: Delaunay Ángulos interiores degeneran Rivara, Irribaren 1996 2. Bisección por el lado mayor Ángulos interiores mejoran

Extensión por conformidad Definición (Conformidad) Una malla es conforme si la intersección de dos triángulos disjuntos es un vértice o un lado. t

Propagación del Refinamiento El problema de la propagación al refinar por el lado mayor

Camino de Propagación por el Lado Mayor Definición (Camino de Propagación por el Lado Mayor:LEPP) LEPP (Longest Edge Propagation Path) de un triángulo t0. Lista ordenada de triángulos adyacentes {t0,t1,..., tn} tal que ti es vecino de ti-1 por el lado mayor de ti-1 Rivara, 1997 t0 t1 t2 LEPP(t0)={t0,t1,t2}

Definiciones previas Definición (Vecindad de Conformidad, Vc(t) ) Sea una malla triangular. Al refinar un triángulo t, la Vecindad de Conformidad Vc(t) es el conjunto de triángulos que se han de refinar para cumplir la conformidad. Vecindad de Conformidad Definiciones (M1 y M2) M1 Número de triángulos en Vc(t) M2 Longitud máxima de los LEPP’s de un triángulo específico. “Radio” de la Vecindad de Conformidad con “centro” t.

Definiciones previas Definición (Par de Triángulos Terminales) Son los triángulos que comparten una arista mayor común. En otro caso decimos que son triángulos simples. Triángulo simple Par de Triángulos Terminales |LEPP| siempre es 2

Mallas equilibradas Definición (Malla equilibrada) Una malla es equilibrada si está compuesta de pares de triángulos terminales. Malla equilibrada Malla no equilibrada

Grado de equilibrio Definición. Grado de equilibrio. Cociente entre el número de pares de triángulos terminales (TT) y el número total de triángulos en una malla (T): Proposición Sea una malla equilibrada. Entonces para todo triángulo interior, M1=5 y M2=2. M1=5  M2=2. Si M1=5 y M2=2, entonces la malla de los triángulos interiores es equilibrada.

Propiedad Asintótica de la partición Proposición La aplicación sucesiva de la partición 4T-LE a los triángulos de una malla hace que el grado de equilibrio tienda a 1. Corolario La aplicación sucesiva de la partición 4T-LE a los triángulos de una malla hace que M1=5 y M2=2. Metodología de demostración: Analizar los distintos casos posibles de triángulos a refinar: Caso triángulo rectángulo Caso triángulo acutángulo Caso triángulo obtusángulo (dos tipos)

Análisis de la demostración: TRIÁNGULO ACUTÁNGULO TRIÁNGULO RECTÁNGULO TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO (TIPO 1) Rivara M.C. and Iribarren G. , “The 4-triangles longest-side partition of triangles and linear renement algorithms”, Math. Comp., (1997), 65:216: 1485-1502. TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO (TIPO 2)

Propiedad Asintótica. Consecuencias 1. Las mallas generadas por refinamiento 4T-LE son cada vez más equilibradas 2. En las mallas equilibradas, la propagación del refinamiento es mínima. 3. Se ha obtenido M15 y M22: Un límite para el número de triángulos refinados al refinar un triángulo concreto (M1  5) Un límite para el tamaño de la lista del LEPP de un triángulo concreto (M2  2) 4. Los ángulos mayores de los triángulos tienden a 90º

Propiedad Asintótica de la partición (cont) Comportamiento ante el refinamiento Local Rivara M.C. and Vemere M., “Cost Analysis of the Longest-Side (Triangle Bisection) RenementAlgorithm for Triangulation”, Eng. Comp. (1996), 12:224--234.”

Propiedades Fractales El conjunto de Cantor

Conjunto Fractal de Cantor Definición (Conjunto Fractal de Cantor) Sea el conjunto de triángulos no pares terminales en una malla . Una polilínea será el conjunto de las aristas mayores de los triángulos en , y el conjunto de las polilíneas de se denominará Conjunto Fractal de Cantor de , y se denota por . Conjunto Fractal de Cantor

Propiedad Fractal: Proposición Sea una secuencia de mallas anidadas obtenidas por refinamiento 4T-LE. Si es la primera malla en la que tras refinar, no aparecen nuevas clases de triángulos, entonces: 1. El número de aristas en el conjunto de Cantor es el doble de las aristas en 2. Exceptuando el caso de Triángulos obtusos Tipo 2: 2.1 es invariante en forma y tamaño. 2.2 El conjunto de aristas en se localizan en las aristas mayores de los triángulos de 2.3 El número de aristas en es exactamente el número de triángulos simples.

Conjunto Fractal de Cantor Triángulo acutángulo (idem t. rectángulo)

Conjunto Fractal de Cantor Triángulo obtusángulo

Pruebas Numéricas

Pruebas Numéricas Objetivo: Realizamos refinamientos globales según la partición 4T-LE a las siguientes mallas y calculamos el grado de equilibrio, M1 y M2. Malla Pentagonal arbitraria Malla tipo Delaunay

Pruebas Numéricas (cont.) Calculamos: M1 y M2 para la malla Pentagonal

Pruebas Numéricas (cont.) Calculamos: M1 y M2 para la malla tipo Delaunay

Pruebas Numéricas (cont.) Comparamos el grado de equilibrio de ambas mallas:

Pruebas Numéricas (cont.) REFINAMIENTO LOCAL

Pruebas Numéricas (cont.)

Conclusiones Se ha caracterizado el problema de propagación del refinamiento por conformidad. Se ha obtenido: Un límite para el número de triángulos refinados al refinar un triángulo concreto (M1=5) Un límite para el tamaño de la lista del LEPP de un triángulo en concreto, (M2=2) Se ha introducido el concepto de mallas equilibradas y grado de equilibrio, útiles para caracterizar la automejora de la partición 4T-LE en el refinamiento global y local. Se ha definido el Conjunto Fractal de Cantor del refinamiento asociado a una triangulación.