Sistema de Ecuaciones Lineales

Objetivos Definir el concepto de sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) Clasificar un S.E.L. de acuerdo con su conjunto solución. Definir el concepto de S.E.L. homogéneos. Resolver un S.E.L. mediante el método de eliminación.

Introducción: un problema de inversiones Un inversionista colocó $100 mil en dos proyectos, el primero de ellos le rindió una tasa de 5% durante el primer año y el segundo, una tasa de 10%. Si durante el primer año obtuvo una rentabilidad total del 8%, ¿cuánto invirtió en cada proyecto?

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Definición Un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) es una colección de dos o más ecuaciones lineales, cada una con dos o más variables (incógnitas). Una solución de un S.E.L. consta de valores de las variables para los cuales cada ecuación del sistema se verifica. Al conjunto de todas las soluciones se le llama Conjunto Solución (C.S.) del S.E.L.

a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2 Sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x1, x2 ,..., xn : a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2+... + amn xn = bm . Los aij se denominan coeficientes, los bi se denominan terminos independientes Si los bi son nulos, el S.E.L. Se llama homogéneo.

Clasificación 1.- ¿Qué sucede en el problema del inversionista, si los dos proyectos hubieran rendido la misma tasa de 10% y la rentabilidad total obtenida también hubiese sido del 10%? En este caso, tendremos infinitas posibilidades para el conjunto solución.

Clasificación En este caso, el sistema no admite solución. 2.- ¿Y qué sucede en el mismo problema, si los dos proyectos rinden la misma tasa de 10% y la rentabilidad total obtenida se mantiene en 8%? En este caso, el sistema no admite solución.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES COMPATIBLE Indeterminado : infinitas soluciones. Determinado: solución única. INCOMPATIBLE CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO

Interpretación geométrica Cada ecuación representa una recta: - y x + 2y = 7 2x + y = 8 2x + y = 8 El punto de corte es la única solución. Sistema compatible - determinado . (3,2) x + 2y = 7 C.S. = {(3;2)} x

Interpretación geométrica y - x + 2y = 7 2x + 4y = 14 - 2x + 4y = 14 Rectas coincidentes: infinitas soluciones Sistema compatible - indeterminado x + 2y = 7 x C.S. = {(x;y) Є R2 / x + 2y = 7}

Interpretación geométrica y x + 2y = 7 2x + 4y = 8 - - Rectas paralelas: no admite solución. Sistema Incompatible x + 2y = 7 C.S. = Ø x 2x + 4y = 8

Gráficas N° de soluciones Resumen Para un sistema de de dos ecuaciones con dos incógnitas Gráficas N° de soluciones rectas no paralelas rectas idénticas rectas paralelas una solución infinitas soluciones ninguna solución

Método de eliminación para resolver un S.E.L. Consiste en buscar eliminar una incógnita sumando ambas ecuaciones. Esto se consigue multiplicando cada ecuación por un número real no nulo, de tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos. Ejemplo: resuelva el siguiente sistema

Solución de un S.E.L. compatible - indeterminado Una ecuación con dos incógnitas Utilizamos parámetros En general, cuando el número de variables es mayor al número de ecuaciones, utilizaremos parámetros como variables libres

Sistema de Ecuaciones Lineales con tres variables Una ecuación lineal general con 3 variables es una ecuación de la forma: ax + by + cz = d donde, a, b, c y d son constantes Una ecuación lineal general con tres variables representa geométricamente un plano en el espacio y una solución al sistema de tales ecuaciones es la intersección de los planos. Los métodos para resolver un S.E.L. con dos variables pueden usarse también para resolver un S.E.L. con tres variables. Sin embargo, en esta clase nos concentraremos en los métodos matriciales.

¿Qué sistema es más fácil de resolver?

Ejemplo resolver el sistema por eliminación algebraica

Ejercicio Inversiones. Una persona invierte $20 000 en bonos, acciones y en prestamos personales a una tasa del 12%, 16% y 20% anual respectivamente. El rendimiento anual total fue de $3248 y el rendimiento de la inversión al 20% fue 2 veces el rendimiento de la inversión al 12%. ¿De cuánto fue cada inversión?