TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS En una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura. 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta).

Tipos de transformaciones isométricas Traslaciones Rotaciones o giros Axial Central Simetrías o reflexiones

Traslaciones Se puede considerar una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

En una traslación: Al deslizar la figura todos los puntos describen líneas rectas paralelas entre sí.

Traslaciones En una traslación se distinguen tres elementos: Dirección (horizontal, vertical u oblicua). Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo). Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto)

Traslaciones en un sistema de ejes coordenados En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación. Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.

Traslaciones en un sistema de ejes coordenados En el par ordenado la primera componente recibe el nombre de abscisa y la segunda componente el nombre de ordenada.

Traslaciones de puntos en el sistema cartesiano. Traslación de A(4,6) a través del vector v(-2,-3) B’(-1,6) A(4,6)   Traslación de B(-5,2) a través del vector v(4,4)  A’ (2,3)  B(-5,2) Traslación de C(-4,-2) a través del vector v(7,1) C’(3,-1)   C(-4,-2)

Traslaciones de puntos en el sistema cartesiano. En la abscisa: Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha. Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda. En la ordenada: Signo positivo: desplazamiento hacia arriba. Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

Rotaciones o giros. Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura.

En una rotación se identifican tres elementos: El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación. La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación. El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario) N M M’ . N’ O

Rotación en 90º en torno al origen: x x’ A’ y’ A y A y x x’ y’ A’ Entonces: x’ = -y y’ = x Luego: A(x,y) => A’(-y,x)

Rotación en 180º en torno al origen: y y x’ x’ x x y’ y’ A’ A’ Entonces: x’ = -x y’ = -y Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)

Rotación en 270º en torno al origen: y x x’ A’ y’ Entonces: x’ = y y’ = -x Luego: A(x,y) => A’(y, -x)

Rotación en 360º en torno al origen: y’ y x’ x Entonces: x’ = x y’ = y Luego: A(x,y) => A’(x, y)

Simetrías o reflexiones Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo.

Tipos de simetrías Axial (reflexión respecto de un eje) Central (reflexión respecto de un punto) O

Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría. En una simetría axial: Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría. El trazo que une un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría. A A’

En una simetría central: El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico. Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º. A O A’

Simetrías en un sistema de ejes coordenados En torno al eje X P  El simétrico de P(a,b) es P’(a,-b)  P’ En torno al eje Y El simétrico de P(a,b) es P’(-a,b) P’ P   En torno al origen P  El simétrico de P(a,b) es P’(-a,-b)  P’

Importante Toda transformación isométrica, mantiene la forma y tamaño de una figura geométrica, por lo tanto el perímetro y el área no sufren variación.

Teselaciones La Teselación regular es el cubrimiento completo del plano con polígonos regulares y congruentes. Son sólo tres los polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano Euclideano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

Teselaciones Una Teselación semi-regular es aquella que está formada por polígonos regulares de manera que la unión de ellos es idéntica en cada vértice Las siguientes ocho figuras, son las únicas combinaciones de polígonos regulares que permiten embaldosar  completamente el plano:

Teselación o Embaldosado con Transformaciones Isométricas La simple observación y análisis de embaldosados, nos permite comprobar que estos se construyen en base a  transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos: Traslación Rotación Reflexión