VOLUMEN de CILINDROS, CONOS Y TRONCOS DE CONO Tema 13.9 VOLUMEN de CILINDROS, CONOS Y TRONCOS DE CONO @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO VOLUMEN DEL CILINDRO El volumen de un prisma hemos visto que es: V = l.a.h = Sb.h Es decir “Volumen = Superficie de la base por la altura” El cilindro se puede considerar como un prisma cuya base es un polígono de infinito número de lados. Por tanto podemos poner: V = Sb.h Y como la base es un círculo. V = π .r2.h h r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 1 Un cilindro recto presenta 10 cm de diámetro y 10 cm de altura. Hallar el volumen. El volumen del cilindro: V = Ab.h = π.r2.h Donde r = d/2 = 10/2 = 5 cm V = π.r2.h = π.52.10 = 250.π cm3 Ejemplo 2 Un cilindro recto tiene 3141,60 cm3 de volumen y el radio de la base mide igual que la altura. Hallar el radio y la altura. El volumen del cilindro: V = π.r2.h Donde 3141,6 = π.h2.h  1000 = h3  h =r = 10 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 3 Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. Hallar las dimensiones de un cilindro de igual altura y volumen. El volumen del prima regular dado será: V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 En el cilindro: V = Ab.h = π.r2.h 250 = π.r2..10 de donde r2 = 250 / 31,41 = 8 r = √8 = 2.√2 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Volumen del Cono El volumen de una pirámide hemos visto que es: V = Sb.h / 3 Un cono se puede considerar como una pirámide cuyo polígono de la base tiene infinitos lados. Por tanto tenemos: Y como Sb= π.r2 V = π.r2.h / 3 que es el volumen de un cono. h r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1 Hallar el volumen de un cono que tiene 10 cm de diámetro de la base y 12 cm de altura. ¿Cuántos litros caben en el mismo si está hueco?. Radio de la base: r = diámetro / 2 = 10 / 2 El volumen de un cono es: V = Ab.h / 3 = π. r 2. h / 3 = π. 5 2. 12 / 3 = 314 cm3 Sabemos que 1 litro = 1 dm3 Luego 314 cm3 = 314 / 1000 dm3 = 0,314 dm3 = 0,314 litros @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_2 Una pirámide regular de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 9 cm por altura. Hallar el radio de la base de un cono de igual altura y volumen. El volumen de la pirámide será: V = Ab.h / 3 = l 2 . h / 3 = 5 2 .9 / 3 = 25. 3 = 75 cm2 En el cono: V = Ab. h / 3 = π. r 2 . h / 3 75 = π. r 2. 9 / 3 75 . 3 / π. 9 = r 2  8 = r 2 r = 2,82 cm es el radio de la base del cono. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO TRONCO DE CONO Área lateral Es el área del segmento circular (parte de una corona circular) que se forma en su desarrollo. Al = (R+r).л.g Siendo R el radio del círculo de la base mayor. Siendo r el radio del círculo de la base menor. Y g la generatriz del tronco de cono. Área de la base Ab = л.R2 A’b = л.r2 Área total Es la suma del área lateral y de las bases. At = (R+r).л.g + л.R2 + л.r2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1 La altura de un tronco de cono mide 12 cm y el radio de las bases miden 11 y 6 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = 3,1416.(R+r).g La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. g = √ [122 + (11-6)2)] = √ (122 + 52) = = √ (144 + 25) = √ 169 = 13 cm Luego: Al = 3,1416.(11+6). 13 = = 694,29 cm2 r=6 g h=12 R=11 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_2 La altura de un tronco de cono mide 72 cm. El diámetro de la base mayor mide 52 cm y el área de la base menor es de 659 cm2 . Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = 3,1416.(R+r).g Calculamos los radios: R=D/2 = 52/2 = 27 cm A’b=3,1416.r2 659=3,1416.r2  r2 = 659 / 3,1416 = 209,77  r = √ 209,77 = 14,48 cm La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo (en amarillo) cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. g = √ [722 + (27-14,48)2)] = √ (122 + 52) = = √ (5184 + 156,67) = √ 5340,67 = 73,08 cm Luego: Al = 3,1416.(27+14,48). 73,08 = = 9523,30 cm2 A’b=659 cm2 g h=72 cm D=52 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_3 Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 1. El volumen será: V = (π.R2+π. r2).h / 2 V = (π.112+ π.62).12 / 2 V = 942.π cm2 Ejemplo_4 Hallar el volumen del tronco de pirámide del Ejemplo 2. V = 885,6704.π.R2+π. r2).h / 2 V = (π.262+ π.14,482).72 / 2 V = 2782,4221.36 = 100167,1966 cm3 r=6 g h=12 R=11 r =14,48 g h=72 d=52 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO