Sesión 14.3 Sistema Coordenado Tridimensional y Vectores en el espacio

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Habilidades Describe el sistema coordenado tridimensional. Localiza un punto en el plano cartesiano. Determina la distancia entre dos puntos y obtiene su punto medio. Identifica y grafica planos paralelos a los planos coordenados y a los ejes. Describe y grafica un plano en R3.

Habilidades Representa un vector en el espacio. Define los vectores canónicos i, j, k. Describe la operación de producto de un vector por un escalar. Describe las operaciones con los vectores como: Igualdad, adición, sustracción, magnitud, vector unitario en la dirección de un vector no nulo dado y productor escalar. Describe la operación de producto vectorial.

Consideraciones previas z y O x ¿ Cómo podemos determinar las coordenadas del cañón de proyección respecto a la esquina O ?

Espacio tridimensional El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio tridimensional. x y z (0; y; z) (0; y; 0) (x; y; 0) (x; 0; 0) (x; 0; z) (0; 0; z) (0; 0; 0) x y z P (x; y; z)

Espacio tridimensional Planos coordenados plano xz: y = 0 x y z origen (0;0;0) plano xy: z = 0 plano yz: x = 0

Espacio tridimensional Plano x = a Plano y = b Plano z = c Plano yz x y z x y z y = b Plano xz Plano y = b x y z Plano xy Plano x = a z = c Plano z = c x = a Plano x = a es al plano yz (x = 0) Plano y = b es al plano xz (y = 0) Plano z = c es al plano xy (z = 0)

Espacio tridimensional La intersección de los planos paralelos a los planos coordenados x = a, y = b, z = c es el punto (a; b; c) x y z (0;0;0) Plano x = a Plano z = c c a b Plano y = b (a; b; c)

Espacio tridimensional Primer octante z plano yz: x = 0 plano xz: y = 0 (0;0;0) y x plano xy: z = 0

Teorema de Pitágoras en el cálculo de la distancia en R3 Si P(x1; y1; z1) y S(x2; y2; z2) son puntos en R3, entonces se cumple que: S t2 = a2 + b2 c d d2 = t2 + c2 R Q P a b t d2 = a2 + b2 + c2

Distancia y valor de punto medio en R3 z Dado los puntos: z2 P = (x1; y1; z1) Q Q = (x2; y2; z2) M P z2 – z1 x2 – x1 z1 y2 – y1 y y1 y2 x1 x2 x

Ejercicios Determine la distancia entre los puntos P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5) y además determine el valor del punto medio de la línea PQ. Determine la distancia entre los puntos R(-1, 2; 5) y S(3; -4; 6) y además determine el valor del punto medio de la línea RS.

Ecuación estándar de la esfera Una esfera es el análogo tridimensional de una circunferencia. En el espacio, el conjunto de puntos que están a una distancia fija de un punto fijo es una esfera. z C(h; k; l) P(x; y; z) C r y x

Ejercicios Determine la ecuación estándar de la esfera con centro en (3; -2; 5) y radio 4. Determine la ecuación estándar de la esfera cuyo diámetro tiene como extremos a los puntos P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5).

Planos en R3 Todo plano puede escribirse como donde A, B y C no todos iguales a cero. z Punto de corte con el eje z traza Punto de corte con el eje y traza y Punto de corte con el eje x traza x

Ejercicio Elabore la gráfica de la ecuación 2x + 3y + 5z = 30 z y x Punto de corte con el eje x Punto de corte con el eje z Punto de corte con el eje y traza Nota: Debe obtener los puntos de corte de la ecuación del plano con los ejes coordenados y luego hace la traza del plano.

Vectores en el espacio El concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural – con sólo ligeros cambios- en el espacio. Los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y al igual que en el plano, el conjunto de segmentos dirigidos de rectas (o flechas) son vectores.

Vectores en el espacio Se definen: El vector v = v1; v2; v3 Vectores unitarios canónicos i, j, k: Vector cero o nulo: v1; v2; v3 x y z v1 v2 v3 v i j k El vector v = v1; v2; v3 v = v1; v2; v3 = v1i + v2j + v3k

Vectores en el espacio El vector v que está representado por la flecha que va de P a Q es: z Q3 v = PQ = OQ - OP Q k P2 Q2 j y i P1 v Q1 P3 x P

Vectores en el espacio Un v se puede multiplicar por un escalar c de la de la siguiente manera: cv = cv1; v2; v3 = cv1; cv2; cv3 v cv 0 < c < 1 cv c > 1 cv c < -1 cv -1 < c < 0

Vectores en el espacio: Propiedades

Vectores en el espacio: Propiedades Si u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que: u  v = v  u u  (v + w)= u  v + u  w c(u  v) = (cu)  v = u  (cv)  u v 0  u = 0 donde  es el ángulo que forman los vectores u y v

Vectores en el espacio: Propiedades Si u y v son vectores no nulos Son perpendiculares si y solo si u  v = 0 El ángulo que forman se puede calcular a partir de la ecuación:  u v

Ejercicio de cálculo con vectores Resuelva según el caso 3-2; 1; 4 6; 0; -7 + -5; 5; 8 1; -3; 4 - -2; -4; 5 |2; 0; -6| 5; 3; -1  -6; 2; 3

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 22, 24, 26, 28, 30, 32 y 34 de la página 693. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.