MATEMÁTICAS II MEDIO PROGRAMA EMPRENDER PREUNIVERSITARIO ALUMNOS UC PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MATEMÁTICAS II MEDIO Santiago, 11 de mayo del 2013

Razones y proporciones Razón: Llamaremos razón entre dos cantidades a y b a la comparación de ellas por división. Se lee “a es a b” a : b Ej.: si Juan tiene 10 años y Pedro tiene 20 años, entonces la razón entre la edad de Juan y la edad de Pedro es: La razón ½ indica que la edad de Juan es la mitad de Pedro.

Razones y proporciones Proporción: al simplificar la fracción 10/20 para obtener ½ nos encontramos con dos razones que tienen el mismo valor, es decir, estamos frente a una proporción. Llamaremos proporción a la igualdad de dos razones.

Razones y proporciones Teorema fundamental de la proporción: en la proporción a : b = c : d, a y d se conocen como términos extremos y b y c son los términos medios.

Razones y proporciones Componer con respecto al antecedente: Componer con respecto al consecuente:

Razones y proporciones Descomponer con respecto al antecedente: Descomponer con respecto al consecuente: Componer y descomponer a la vez:

Razones y proporciones Ej.: las edades de dos personas suman 80 años y están en la razón 7 : 9 ¿Cuáles son las edades? Sean A y B las edades buscadas. Entonces A/B = (7/9) y A + B = 80. El dato de la suma nos sugiere componer la proporción dada. Luego: y , donde Por lo tanto: A = 80 – B = 80 – 45 = 35. Es decir, las edades buscadas son 45 y 35 años.

Proporcionalidad directa Un automóvil con velocidad constante recorre 60 km en una hora. La siguiente tabla muestra la variación de la distancia recorrida (Y, en km) para distintos tiempos (X, en horas). Si escogemos dos valores de X y los valores correspondientes de Y se puede señalar que están en una proporción directa, es decir, las distancias recorridas son directamente proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlas. Y 60 120 180 240 300 X 1 2 3 4 5

Proporcionalidad inversa Un automóvil que tiene que recorrer una distancia de 360 km. Hagamos una tabla que muestre el tiempo X que se demora (en horas) de acuerdo con la rapidez Y que lleva (en km/hr). Si tomamos dos valores cualquiera de la tabla de X: 4 y 8 y los respectivos valores de Y: 90 y 45 y formamos el producto de los valores correspondientes tendremos: ^ Y 120 90 72 60 45 40 X 1 2 3 4 5 9

Proporcionalidad inversa Entonces, dadas dos magnitudes X e Y, diremos que X es inversamente proporcional a Y o que X varía inversamente con Y, si y sólo si el producto entre un valor cualquiera de X y el correspondiente valor de y es constante.

Constante de proporcionalidad Los ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 2 : 3 : 4. Determine la medida de cada ángulo. Sean α, β y γ los ángulos interiores del triángulo ABC, entonces: α : β : γ = 2 : 3 : 4, de donde: α = 2k; β = 3k y γ = 4k, pero como α + β + γ = 180º 2k + 3k + 4k = 180º 9k = 180º K = 20º Revisando el ejemplo anterior

Constante de proporcionalidad Entonces, los ángulos buscados son: α = β = γ =

Proporcionalidad compuesta Si 18 obreros realizan un trabajo en 30 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos días tardan en hacer el mismo trabajo 15 obreros trabajando 9 horas diarias? En primer lugar supondremos constante el número de horas H (jornada de 8 horas) y calcularemos cuántos días tardarían 15 obreros en realizar el trabajo. N D H 18 30 8 15 X 9 N D H 18 30 8 15 X

Proporcionalidad compuesta Como N y D son inversamente proporcionales: Luego usamos este valor para, suponiendo constante el valor de N (15), determinar cuántos días se tardarían este número de obreros en realizar el trabajo si trabajan en jornadas de 9 horas diarias. N D H 15 36 8 X 9

Proporcionalidad compuesta Como D y H son inversamente proporcionales: Es decir, tardan 32 días en realizar el mismo trabajo.

Porcentajes Un porcentaje es una fracción con denominador constante igual a 100. El a% de b es:

Porcentajes Ej.: ¿cuánto es el 5% de 30?

Álgebra El álgebra es la parte de la matemática que trata del cálculo con símbolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales. Productos notables: Cuadrado del binomio: Suma por su diferencia:

Álgebra Producto de binomios con un término repetido: Cubo del binomio: Cuadrado de un trinomio: Productos que desembocan en suma de cubos perfectos:

Potencias y raíces Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente. En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. = 2 4 base exponente 2 * 16

Potencias y raíces 2 1 / 2 -3 3 = -3 3 2 3 = 3 2 Cuando tenemos un exponente negativo hay que INVERTIR LA BASE para pasar a exponente positivo: a –n = 1 / an -3 3 2 1 / 2 = -3 3 2 3 = 3 2

Potencias y raíces Propiedades: el producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores : am * an = am+n 43 = 4 * 4 * 4   y   45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4, luego 43* 45 = (4 * 4 * 4) * (4 * 4 * 4 * 4 * 4) = 48 = 43+5

(2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33 Potencias y raíces Una potencia elevada a un número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva (Potencia de potencia): La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores: (a*b)m = am * bm (2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33 La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor : (a/b)m = am / bm (Se resuelve en forma similar al anterior). (am)n = a m* n (45 ) 3 = 45 * 45 * 45 = 45 + 5 + 5 = 4 5 * 3

Potencias y raíces am : an = am-n El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor. am : an = am-n Potencia de exponente cero, indica que todo número elevado al exponente cero es igual a la unidad: a0 = 1 45 : 43 = (4 * 4 * 4 * 4 * 4) : (4 * 4 * 4) = 42 = 45-3

Potencias y raíces Radicación: la radicación es la operación inversa de la potenciación, se representa con el símbolo Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical o radicando, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice. índice radicando Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite

Potencias y raíces Para elevar una raíz a cualquier potencia, es la raíz del radicando elevada a dicha potencia, (es lo mismo hacer primero la raíz y luego elevar a la potencia, que primero elevar a la potencia y luego hacer la raíz.) 3 3 3 3 3 = = 3.3.3 3 3 3 3 3 =

Potencias y raíces = = 3 5 3*5 15 * 12 6 12/2 = = 2 Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos = = 3 5 3*5 15 * Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos. 12 6 12/2 = = 2

Potencias y raíces Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos: 3 * 2 3 = 32 32 Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical, el numerador del exponente fraccionario es el exponente del radicando y el denominador del exponente fraccionario es el índice de la raíz. 3 1 / 3 12 12 =