(Versión preliminar) Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa Sistemas de ecuaciones lineales M. en C. René Benítez López

La tercera parte de los ahorros de Juan es $115. Si x representa los ahorros de Juan, entonces el enunciado anterior se expresa como sigue: Esta igualdad es una ecuación lineal. Las ecuaciones se usan para expresar algebraicamente fenómenos físicos, químicos, biológicos, astronómicos, sociales, económicos etc. Por ejemplo: expresa la relación entre la velocidad (v) y el tiempo (t) de un automóvil con velocidad inicial de 2 m por segundo, y con una aceleración de m por segundo cuadrado.

Una ecuación lineal es una ecuación de la forma en donde son variables;son constantes llamadas los coeficiente de las variables y b es una constante llamada el término constante de la ecuación. Ejemplo 1 Solución Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble de las canicas de Juan se junta con las de Pedro, se obtienen 103 canicas. ¿Cuántas tiene cada uno? Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x + 2 canicas. Por tanto:

Ejemplo 2Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el río está en calma? SoluciónSea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y sea y la velocidad del río o de la corriente. Entonces: es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor. es la velocidad de la lancha con la corriente en contra. Por lo que: Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones forman un sistema 2x2 de ecuaciones lineales. Resolviendo el sistema (*) se obtiene: Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales ………(*)

Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2x2). Se describirán algunos de ellos resol- viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior. Método por sustitución Este método se resume así: Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones La variable despejada en el paso 1, se sustituye en la otra ecuación por su correspondiente expresión, y se resuelve la ecuación que resulta. El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en la ecuación obtenida en el paso 1. ¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales?

Ejemplo 3Resolver por sustitución el sistema Solución1. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene: ….(*) ….(**) 2. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se tiene: 3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se obtiene el valor de y

Método por igualación Este método se resume así: De cada ecuación se despeja la misma variable Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, y se resuelve la ecuación que resulta. El valor de la variable obtenido en el paso 2, se sustituye en una de las ecuaciones obtenida en el paso 1. Ejemplo 4Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. Si Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h, ¿a qué distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan? SoluciónSea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza a Juan, y sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. Entonces

t – 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan. Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t se tiene que: Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene: O sea: Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuaciónse obtiene que d = 180.

Método por determinantes Si los coeficientes de las variables t y d del sistema se arreglan así se obtiene una matriz. El determinante de una matrizse denota así: y se define como sigue: Y la resolución por determinantes de un sistema se obtiene así:

Ejemplo 5Resolver por determinantes el sistema Solución Ejemplo 6Resolver por determinantes el sistema Solución

Método gráfico Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan. La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta. Por lo que el método gráfico: Ejemplo 7Resolver gráficamente el sistema SoluciónSe tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe: x y 0– x y 02 3

Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe: – x y El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es: (2, 3)

Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema. Ejemplo 8El sistematiene solución única. Observe: x y (4, 1) 1

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta. Ejemplo 10El sistematiene infinidad de soluciones. Observe: y x

Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí. El sistemano tiene solución. Observe: y x - 3 Ejemplo 11

Fin