MATEMÁTICA FINANCIERA TEMA 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO TEMA 2.4 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I INTERÉS SIMPLE El dinero depositado en un banco se llama CAPITAL. La cantidad de dinero que paga el banco por el capital depositado se llama INTERÉS. El dinero que paga el banco al año por cada 100 € depositados se llama TIPO DE INTERÉS o RÉDITO El interés es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al capital, al rédito y al tiempo. i = C . (r / 100) . t i = C . (r / 1200) . t i = C . (r / 400) . t i = C . (r / 3600) . t según se mida el tiempo en años, meses, trimestres o días. O sea Interés = C.r.t ,, Capital final = C + C.r.t = C.(1+ r.t) En el interés simple los intereses producidos en cada periodo de tiempo, periodo de imposición, no se acumulan al capital inicial para el siguiente periodo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_1 Un grupo de estudiantes tiene 5.000 € para un viaje fin de estudios a realizar dentro de dos años. Un banco les ofrece un interés del 3% nominal anual. a) ¿Qué dinero obtendrían si lo colocan a 2 años? b) ¿Y si lo colocan a 24 meses? c) ¿Y si lo colocan a 8 trimestres? a) i = Co . r . t = 5.000. (3 / 100).2 = 50.3.2 = 300 € b) i = Co . r . t = 5.000. (3 / 100.12).24 = 50.3.2 = 300 € c) i = Co . r . t = 5.000. (3 / 100.4).8 = 50.3.2 = 300 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_2 ¿Qué rédito me debe ofrecer un banco si deseo que al cabo de 20 meses un capital de 5000 € se me convierta en 6000 €? Quiero que 5000 + i = 6000 Luego debo conseguir unos intereses de 1000 €. Co . r . t 5.000. r. 20 i = ------------- ; 1000 = ---------------- ; 1200 1200 Resolviendo la ecuación: 1200000 = 100.000. r  r = 1200000 / 100000 = 12 El tipo de interés debe ser del 12%. Nota: Un rédito tan alto es impensable conseguirlo actualmente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_3 ¿Qué tiempo debo tener invertido un capital para que con un tipo de interés del 4% pueda triplicar dicho capital inicial? Quiero que Cf = Co + i  3.Co = Co + i Luego debo conseguir unos intereses de 2.Co. Co . r . t Co. 4. t i = ------------- ; 2.Co = ------------; 100 100 Resolviendo la ecuación: 200. Co = 4.Co.t  t = 200. Co / 4. Co = 50 Debo depositarlo durante 50 años para que se triplique. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I INTERÉS COMPUESTO En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo ( años, meses, trimestres o días), el interés producido se suma al capital. En el primer año: Capital final = C + C.r = C.(1+ r) En el segundo año: Capital final = (C + C.r) + (C + C.r).r Sacando factor común a (C+C.r) Capital final = (C + C.r).(1+r) = C.(1+r).(1+r) = C.(1+r)2 En el tercer año: Capital final = C.(1+r)2 + C.(1+r)2 .r Sacando factor común a C.(1+r)2 Capital final = C.(1+r)2.(1+ r) = C.(1+ r)3 Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r)t Siendo (1+r) el número índice. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Comparación intereses Los capitales depositados a interés simple crecen de forma lineal o aritmética. Cf = Co + Co.r.t = Co.(1 + r.t) Co = Capital inicial Por ejemplo, cada año 1000 € se incrementan en 50 €. Los capitales depositados a interés compuesto crecen de forma exponencial o geométrica. Cf = Co.(1 + i)t Por ejemplo, cada año 1000 € se incrementan sucesivamente en 60 €, en 67,5 €, en 73 €, etc. Co 0 1 2 3 años @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 1 Deposito en un banco 5.000 € a un interés (compuesto) del 5%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. En el primer año: Capital final = 5000 + 5000.0,05 = 5000.1,05 = 5250 En el segundo año: Capital final = 5250 + 5250.0,05 = 5512,5 En el tercer año: Capital final = 5512,5 + 5512,5.0,05 = 5688,025 Y así hasta el 10º año. Fijarse bien en que los intereses producidos van aumentando año tras año, a diferencia del interés simple. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r)t Capital final = 5000.(1+0,05)10 = 8144,47 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 2 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r)t Capital final = 10000.(1+0,03)10 = 13439,16 € Ejemplo 3 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 120 meses?. Utilizando la fórmula, al cabo de 120 meses tendremos: Capital final = C.(1+r)m Capital final = 10000.(1+3/1200)120 = 10000.(1+0,0025)120 = = 10000.1,349353 = 13493,53 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_4 Ingresamos en un banco la cantidad de 20.000 € a un tipo de interés anual del 5 %.¿ Qué tiempo tiene que transcurrir para que se nos doble el capital?. Como es un proceso de capitalización acordamos no tocar los intereses producidos en cada periodo ( interés compuesto). Utilizando la fórmula, al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+r)t 40.000 = 20.000.(1+0,05)t Ecuación exponencial. 40000 / 20000 = (1,05)t  2 = (1,05)t Tomando LOGARITMOS DECIMALES, tenemos: log 2 = log (1,05)t  log 2 = t. log 1,05 Despejando t, ahora que ya no está en el exponente, tenemos: t = log 2 / log 1,05 = 0,301030 / 0,021189 = 14,20 años @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_5 Un piso me ha costado 120.000 €. Cada año se revaloriza un 10%. ¿ Qué tiempo tiene que transcurrir para poder venderlo por un valor de 200.000 €?. Utilizando la fórmula, al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+r)t 200.000 = 120.000.(1+10/100)t 200.000 = 120.000.(1+0,1)t Ecuación exponencial. 200000 / 120000 = (1,1)t  1,6667 = (1,1)t Tomando LOGARITMOS DECIMALES, tenemos: log 1,6667 = log (1,1)t  log 1,6667 = t. log 1,1 Despejando t, ahora que ya no está en el exponente, tenemos: t = log 1,6667 / log 1,1 = 0,221849 / 0,041393 = 5,36 años @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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