3- Algunas maneras de contar PROGRAMA SÉNIOR UNIVERSIDAD DE CANTABRIA Es lógico Beatriz Porras 3- Algunas maneras de contar

Combinatoria: Adrián Paenza http://youtu.be/rQ84z40YYVk

El problema es bastante habitual: Supongamos que tenemos un conjunto de 10 elementos distintos. Para concretar ideas, podemos pensar en el caso de una baraja de 40 cartas, de las que se reparten 10 a cada jugador. El problema que nos planteamos es de cuántas formas distintas podemos ordenar esas 10 cartas. El problema es bastante habitual: Si tenemos un grupo de 20 niños, ¿de cuantas maneras distintas podemos colocarlos a todos en una fila?, por ejemplo, con el objetivo de que todos estén en algún momento en cada una de las posiciones posibles. De cuántas formas distintas podríamos ordenar los 8 cuadros de una exposición, a lo lago de un pasillo?

En todos los casos, hablamos de las formas posibles de ordenar un conjunto de n elementos distintos. La respuesta es bastante "lógica". Si lo hacemos con un conjunto pequeño, por ejemplo de 3 elementos, lo podemos resolver a mano: Tenemos tres elementos A, B y C. Para ordenarlos, podemos colocar en el primer lugar a cualquiera de los tres Primero Segundo Tercero A B C

Una vez colocado el primer elemento, nos quedan dos para escoger el que irá en segundo lugar Primero Segundo Tercero A B C

Y una vez escogidos los dos primeros elementos, solo queda uno que necesariamente irá el ultimo Segundo Tercero A B C

Otra forma, mas gráfica, plantear este tipo de problemas son los diagramas de árbol: construimos un árbol haciendo una ramificación cada vez que tenemos que escoger entre varias opciones para resolver el problema. El numero total de ramas nos indica el numero de soluciones posibles.

Para la primera posición puedo elegir cualquiera de los n elementos que tengo. Por cada una de las n elecciones de primer elemento, puedo escoger uno entre los (n -1) que me quedan para la segunda posición. En total tengo n(n - 1) formas posibles de escoger los dos primeros elementos, y me quedan (n - 2) posibilidades para la tercera posición. Así que tengo n(n -1)(n-2) formas posibles de escoger los tres primeros elementos. Sigo con este procedimiento hasta que solo me quede un elemento suelto, que necesariamente quedara en la última posición. En total tengo n! = n(n-1)(n-2)(n-3)...3 x 2 x 1 formas posibles de ordenar un conjunto de n elementos distintos.

Un detalle importante: el numero n Un detalle importante: el numero n! nos indica cuantas soluciones hay, no cuales son. Todas las soluciones forman lo que llamamos "permutaciones de n", cada forma de ordenar los n elementos es una permutación, y el numero total de permutaciones posibles es n!.

Un caso especial: permutaciones circulares ¿De cuantas formas distintas podemos sentar a 8 personas alrededor de una mesa redonda? A B C D E F G H

E F G H A B C D A B C D E F G H F D C A E H G B

En general, al contar el número de ordenaciones circulares de n elementos tenemos que mantener uno fijo, y ordenar el resto a partir de él, con lo que el número total de es “Permutaciones circulares de n elementos” PCn= (n-1)!

Consideremos ahora este ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras distintas podemos formar con los dígitos del 1 al 9? Pongamos otro ejemplo con personas: Tengo una clase con 9 alumnos, y cada da tenemos que hacer tres trabajos distintos para empezar la clase: subir las persianas, limpiar la pizarra, y encender el ordenador. Quiero escoger cada da a tres alumnos para que vayan haciendo este trabajo antes de que yo llegue a clase. Y preferiría que todos participasen en todos los trabajos. ¿De cuantas formas puedo escoger tres niños para que hagan esos tres trabajos? ¿En un curso habremos rotado entre todas las opciones distintas posibles?.

El problema es claramente diferente del anterior en el sentido de que no tengo que escoger y ordenar a todos los alumnos, sino que tengo que seleccionar a tres de ellos. Y es importante en que orden los seleccione, ya que el trabajo que van a tener que hacer es distinto: por ejemplo, el primero que nombre siempre será el que suba las persianas, el segundo limpiara la pizarra, y el tercero preparara el ordenador.

Respuesta: En primer lugar, podre escoger uno de los nueve alumnos, cualquiera. Tengo nueve posibilidades. En segundo lugar, podre escoger a uno de los ocho que quedan. Por cada una de las nueve posibilidades tengo ocho para escoger al segundo alumno. Y por cada pareja que haya escogido para los dos primeros trabajos, quedaran otros siete alumnos entre los que escogeré al tercero. Siete posibilidades por cada una de las posibles elecciones anteriores. 9x8x7=504 posibilidades

El numero de variaciones posibles es Que se puede escribir también Este tipo de operación: seleccionar k elementos de un grupo de n elementos distintos, en el que los resultados se diferencian tanto por que elementos escogemos como por en que orden lo hacemos, se denomina “Variaciones de n elementos tomados de k en k” El numero de variaciones posibles es Vn,k = n(n -1)(n -2) x...x(n - k + 1) Que se puede escribir también

Un tercer tipo de problema Para una liga de futbol con ocho equipos, si todos juegan con todos una vez, ¿cuantos partidos distintos se jugaran? ¿Es decir, cuántos emparejamientos distintos se pueden hacer? En un tele-pizza tienen una oferta de 10 ingredientes, de los cuales puedes escoger los tres que prefieras para hacer una combinación. ¿Cuantas pizzas distintas puede hacer?

Ahora tenemos un modelo de problema claramente distinto de los dos anteriores por dos motivos: Tenemos que hacer una selección, en la que no aparecen todos los elementos disponibles en el conjunto, y además el grupo que formamos es el mismo aunque escojamos sus elementos en un orden distinto.

En el ejemplo de las pizzas: Primer paso: Para hacer una combinación podemos escoger en primer lugar uno cualquiera de los 10 ingredientes. Una vez escogido el primero, podemos escoger otro de los 9 que nos quedan, y finalmente escoger uno de los 8 restantes. 10x9x8 soluciones Segundo paso: Si hacemos una lista con todas esas soluciones, hay muchos resultados iguales, con los mismos ingredientes, sólo que escogidos en ordenes distintos. Todas las formas de ordenar esos tres ingredientes, 3! Iguales por cada elección de tres ingredientes Total: Agrupamos como una única solución las que son iguales, y quedan Soluciones distintas

En este tipo de problema hemos tenido que seleccionar k elementos en un grupo de n, sin importar el orden en que se escogen. Los resultados se diferencian por los elementos que contienen, pero no por el orden en que aparecen. El número de soluciones se denomina “Combinaciones de n elementos tomados de k en k” y se calcula mediante la fórmula La expresión se lee “n sobre k”, y se llama número combinatorio

Un ejemplo: La selección nacional de futbol. En estos tiempos de crisis la necesidad de distraernos y disfrutar de un tiempo de ocio se hace mas acuciante, y algunos deportes masivos como el futbol vuelven a convertirse en vías de escape. A cada todo el mundo le gustaría diseñar el equipo titular de la selección española, pero eso es imposible, ¿o no? Simplificamos un poco la situación: el seleccionador tiene que formar un equipo con un portero, cuatro defensas, cuatro medios y dos delanteros. Y pongamos que puede elegir entre los jugadores titulares de los cuatro mejores equipos de la liga, que tienen esta misma estructura.

Hay formas distintas de seleccionar a cuatro defensas. Así que tenemos cuatro equipos, A, B, C y D. En cada uno hay una distribución similar de jugadores, por lo que tenemos 4 porteros 16 defensas 16 mediocampistas 8 delanteros Para formar un equipo podemos escoger uno cualquiera de los cuatro porteros. Después podemos escoger cuatro defensas de entre los 16 que tenemos. Suponemos que pueden jugar en cualquier posición (derecha, izquierda, centro,…) Hay formas distintas de seleccionar a cuatro defensas. A continuación tenemos que escoger cuatro medio campistas entre los 16 que tenemos, por lo que tenemos el mismo numero de posibilidades. Y finalmente tenemos que escoger 2 delanteros, entre los 8 disponibles. Hay formas distintas de hacer esto.

Selecciones distintas Multiplicamos: por cada elección de portero, el numero de posibles elecciones de defensas, y por cada una de estas opciones, el numero de posibles elecciones de medios, y finalmente por el numero de posibles elecciones de delanteros. Selecciones distintas

Tres modelos combinatorios simples: Permutaciones: ordenar un conjunto de n elementos Variaciones: seleccionar de forma ordenada un subconjunto de k elementos de entre un conjunto de n elementos distintos Combinaciones: Seleccionar un subconjunto de k elementos de entre un conjunto de n elementos (sin importar el orden)

Cuando las cosas se complican,… Todos los modelos de problemas anteriores tienen una versión más complicada, cuando aparecen elemento repetidos …¡Permutaciones, variaciones y combinaciones con repetición!