ECUACIONES DIFERENCIALES MATEMÁTICAS V ECUACIONES DIFERENCIALES CARRERA: ING. ELECTRÓNICA

UNIDAD 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SUBTEMA 1.1: DEFINICIÓNES ( Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad)

INTRODUCCIÓN La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial. EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES: (4) (1) (2) (5) (3) (6)

EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES: (7) (8) (9) (10) (11)

DEFINICIONES Ecuación diferencial (ED): Es aquella ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes Para referirse a ellas, se clasifica a las ecuaciones diferenciales por su tipo, orden y linealidad. Clasificación por su tipo: Por su tipo las ecuaciones diferenciales se dividen en ordinarias y parciales Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) Una EDO puede contener más de una variable dependiente Ejemplos:

o variable dependiente variable independiente Si una ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial (EDP) Ejemplos: En la mayoría de los libros las derivadas ordinarias se escriben con la notación de Leibniz, o bien, con la notación de Prima Ventaja de la notación de Leibniz sobre la notación de Prima Aunque es menos conveniente para escribir y componer tipográficamente, la notación de Leibniz tiene una ventaja sobre la notación de Prima en que muestra de manera clara tanto la variable dependiente como la independiente. Función desconocida o variable dependiente variable independiente

2 Propiedades características de una EDO lineal Clasificación por su orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. Por ejemplo: Segundo orden Primer orden Clasificación por su linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en todas sus derivadas, es decir, la potencia de cada termino en que interviene y es 1 2 Propiedades características de una EDO lineal La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´…..son de primer grado Los coeficientes a0, a1,…..an de las derivadas dependen solo de la variable independiente x EDO de Tercer orden EDO de Segundo orden Ejemplos: EDO de Primer orden

el coeficiente depende de y ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que es no lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o sus derivadas, como sen (y) o , no pueden aparecer en una ecuación lineal por consiguiente: Término no lineal el coeficiente depende de y Término no lineal: función no lineal de y Término no lineal potencia diferente de 1 Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente.

EJERCICIOS DE TAREA En cada uno de los ejercicios siguientes indique si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal e indique su orden. (1) (7) (2) (8) (3) (9) (4) (10) (5) (6) (11)